---

Step * 1 1 of Lemma presheaf-eta


1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A : {X ⊢ _}
4. B : {X.A ⊢ _}
5. w : I:cat-ob(C) ⟶ a:X(I) ⟶ presheaf-pi-family(C; X; A; B; I; a)
6. ∀I,J:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀a:X(I).  ((w I a a f) = (w J f(a)) ∈ ΠA B(f(a)))
7. I : cat-ob(C)
8. a : X(I)
⊢ (w I a) = (λJ,f,u. (w J (fst((f(a);u))) J (cat-id(C) J) (snd((f(a);u))))) ∈ presheaf-pi-family(C; X; A; B; I; a)
BY
{ ((Assert w I a ∈ presheaf-pi-family(C; X; A; B; I; a) BY
          Auto)
   THEN (MemTypeHD (-1) THENA Auto)
   THEN EqTypeCD
   THEN Auto
   THEN ((Ext THENA Auto) THEN RenameVar `J' (-1))
   THEN ((Ext THENA Auto) THEN RenameVar `f' (-1))
   THEN (Ext THENA Auto)
   THEN RenameVar `u' (-1)
   THEN Reduce 0) }

1
1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A : {X ⊢ _}
4. B : {X.A ⊢ _}
5. w : I:cat-ob(C) ⟶ a:X(I) ⟶ presheaf-pi-family(C; X; A; B; I; a)
6. ∀I,J:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀a:X(I).  ((w I a a f) = (w J f(a)) ∈ ΠA B(f(a)))
7. I : cat-ob(C)
8. a : X(I)
9. (w I a) = (w I a) ∈ (J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ u:A(f(a)) ⟶ B((f(a);u)))
10. ∀J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀u:A(f(a)).
      ((w I a J f u (f(a);u) g) = (w I a K (cat-comp(C) K J I g f) (u f(a) g)) ∈ B(g((f(a);u))))
11. J : cat-ob(C)
12. f : cat-arrow(C) J I
13. u : A(f(a))
⊢ (w I a J f u) = (w J (fst((f(a);u))) J (cat-id(C) J) (snd((f(a);u)))) ∈ B((f(a);u))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  X  :  ps\_context\{j:l\}(C)
3.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
4.  B  :  \{X.A  \mvdash{}  \_\}
5.  w  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  presheaf-pi-family(C;  X;  A;  B;  I;  a)
6.  \mforall{}I,J:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  J  I.  \mforall{}a:X(I).    ((w  I  a  a  f)  =  (w  J  f(a)))
7.  I  :  cat-ob(C)
8.  a  :  X(I)
\mvdash{}  (w  I  a)  =  (\mlambda{}J,f,u.  (w  J  (fst((f(a);u)))  J  (cat-id(C)  J)  (snd((f(a);u)))))


By

---

Latex:
((Assert  w  I  a  \mmember{}  presheaf-pi-family(C;  X;  A;  B;  I;  a)  BY
                Auto)
  THEN  (MemTypeHD  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  EqTypeCD
  THEN  Auto
  THEN  ((Ext  THENA  Auto)  THEN  RenameVar  `J'  (-1))
  THEN  ((Ext  THENA  Auto)  THEN  RenameVar  `f'  (-1))
  THEN  (Ext  THENA  Auto)
  THEN  RenameVar  `u'  (-1)
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index