---

Step * 1 of Lemma presheaf-type-equal3


1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A : {X ⊢ _}
4. B : {X ⊢ _}
5. A = B ∈ {X ⊢ _} 
   supposing A
   = B
   ∈ (A:I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type × (I:cat-ob(C)
                                      ⟶ J:cat-ob(C)
                                      ⟶ f:(cat-arrow(C) J I)
                                      ⟶ a:X(I)
                                      ⟶ (A I a)
                                      ⟶ (A J f(a))))
6. ∀I:cat-ob(C). ∀[rho:X(I)]. (A(rho) = B(rho) ∈ Type)
7. ∀I:cat-ob(C). ∀[rho:X(I)]. ∀[J:cat-ob(C)]. ∀[f:cat-arrow(C) J I]. ∀[u:A(rho)].  ((u rho f) = (u rho f) ∈ A(f(rho)))
⊢ A = B ∈ {X ⊢ _}
BY
{ (D 5
   THEN Auto
   THEN RepeatFor 2 (DVar `A')
   THEN RepeatFor 2 (DVar `B')
   THEN (EqCD THEN Auto)
   THEN Repeat ((FunExt THENA Auto))
   THEN All Reduce) }

1
1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A1 : I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. A2 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
5. (∀I:cat-ob(C). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A1 I a)))
∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K cat-comp(C) K J I g f(a))))
6. A : I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type
7. B1 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
8. (∀I:cat-ob(C). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((B1 I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
     ((B1 I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A K cat-comp(C) K J I g f(a))))
9. ∀I:cat-ob(C). ∀[rho:X(I)]. ((A1 I rho) = (A I rho) ∈ Type)
10. ∀I:cat-ob(C)
      ∀[rho:X(I)]. ∀[J:cat-ob(C)]. ∀[f:cat-arrow(C) J I]. ∀[u:A1 I rho].
        ((A2 I J f rho u) = (B1 I J f rho u) ∈ (A1 J f(rho)))
11. I : cat-ob(C)
12. x : X(I)
⊢ (A1 I x) = (A I x) ∈ Type

2
1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A1 : I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. A2 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
5. (∀I:cat-ob(C). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A1 I a)))
∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K cat-comp(C) K J I g f(a))))
6. A : I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type
7. B1 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
8. (∀I:cat-ob(C). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((B1 I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
     ((B1 I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A K cat-comp(C) K J I g f(a))))
9. ∀I:cat-ob(C). ∀[rho:X(I)]. ((A1 I rho) = (A I rho) ∈ Type)
10. ∀I:cat-ob(C)
      ∀[rho:X(I)]. ∀[J:cat-ob(C)]. ∀[f:cat-arrow(C) J I]. ∀[u:A1 I rho].
        ((A2 I J f rho u) = (B1 I J f rho u) ∈ (A1 J f(rho)))
11. I : cat-ob(C)
12. J : cat-ob(C)
13. f : cat-arrow(C) J I
14. a : X(I)
15. x : A1 I a
⊢ (A2 I J f a x) = (B1 I J f a x) ∈ (A1 J f(a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  X  :  ps\_context\{j:l\}(C)
3.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
4.  B  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
5.  A  =  B  supposing  A  =  B
6.  \mforall{}I:cat-ob(C).  \mforall{}[rho:X(I)].  (A(rho)  =  B(rho))
7.  \mforall{}I:cat-ob(C)
          \mforall{}[rho:X(I)].  \mforall{}[J:cat-ob(C)].  \mforall{}[f:cat-arrow(C)  J  I].  \mforall{}[u:A(rho)].    ((u  rho  f)  =  (u  rho  f))
\mvdash{}  A  =  B


By

---

Latex:
(D  5
  THEN  Auto
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `A')
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `B')
  THEN  (EqCD  THEN  Auto)
  THEN  Repeat  ((FunExt  THENA  Auto))
  THEN  All  Reduce)

---

Home Index