---

Step * 1 2 of Lemma presheaf-type-equal3


1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A1 : I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type
4. A2 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
5. (∀I:cat-ob(C). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A1 I a)))
∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K cat-comp(C) K J I g f(a))))
6. A : I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type
7. B1 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
8. (∀I:cat-ob(C). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((B1 I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A I a)))
∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
     ((B1 I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A K cat-comp(C) K J I g f(a))))
9. ∀I:cat-ob(C). ∀[rho:X(I)]. ((A1 I rho) = (A I rho) ∈ Type)
10. ∀I:cat-ob(C)
      ∀[rho:X(I)]. ∀[J:cat-ob(C)]. ∀[f:cat-arrow(C) J I]. ∀[u:A1 I rho].
        ((A2 I J f rho u) = (B1 I J f rho u) ∈ (A1 J f(rho)))
11. I : cat-ob(C)
12. J : cat-ob(C)
13. f : cat-arrow(C) J I
14. a : X(I)
15. x : A1 I a
⊢ (A2 I J f a x) = (B1 I J f a x) ∈ (A1 J f(a))
BY
{ (RepUR ``presheaf-type-ap-morph presheaf-type-at`` 10 THEN InstHyp [⌜I⌝;⌜a⌝;⌜J⌝;⌜f⌝;⌜x⌝] 10⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  X  :  ps\_context\{j:l\}(C)
3.  A1  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  X(I)  {}\mrightarrow{}  Type
4.  A2  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  J:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  f:(cat-arrow(C)  J  I)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (A1  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A1  J  f(a))
5.  (\mforall{}I:cat-ob(C).  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.    ((A2  I  I  (cat-id(C)  I)  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  J  I.  \mforall{}g:cat-arrow(C)  K  J.  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A1  I  a.
          ((A2  I  K  (cat-comp(C)  K  J  I  g  f)  a  u)  =  (A2  J  K  g  f(a)  (A2  I  J  f  a  u))))
6.  A  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  X(I)  {}\mrightarrow{}  Type
7.  B1  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  J:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  f:(cat-arrow(C)  J  I)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (A  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A  J  f(a))
8.  (\mforall{}I:cat-ob(C).  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((B1  I  I  (cat-id(C)  I)  a  u)  =  u))
\mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  J  I.  \mforall{}g:cat-arrow(C)  K  J.  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A  I  a.
          ((B1  I  K  (cat-comp(C)  K  J  I  g  f)  a  u)  =  (B1  J  K  g  f(a)  (B1  I  J  f  a  u))))
9.  \mforall{}I:cat-ob(C).  \mforall{}[rho:X(I)].  ((A1  I  rho)  =  (A  I  rho))
10.  \mforall{}I:cat-ob(C)
            \mforall{}[rho:X(I)].  \mforall{}[J:cat-ob(C)].  \mforall{}[f:cat-arrow(C)  J  I].  \mforall{}[u:A1  I  rho].
                ((A2  I  J  f  rho  u)  =  (B1  I  J  f  rho  u))
11.  I  :  cat-ob(C)
12.  J  :  cat-ob(C)
13.  f  :  cat-arrow(C)  J  I
14.  a  :  X(I)
15.  x  :  A1  I  a
\mvdash{}  (A2  I  J  f  a  x)  =  (B1  I  J  f  a  x)


By

---

Latex:
(RepUR  ``presheaf-type-ap-morph  presheaf-type-at``  10
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  10\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index