---

Step * 1 1 1 1 1 1 2 of Lemma unit-balls-homeomorphic+


1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
9. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
10. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
11. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
12. x : ℝ^n
13. [%22] : mdist(rn-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
14. r0 < ||x||
15. g x ≡ (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
16. r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;x)
17. r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)
18. h (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x ≡ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p) 
                                               (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
⊢ h (g x) ≡ x
BY
{ (Reduce -1
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN MoveToConcl (-3)
   THEN (GenConcl ⌜mdist(max-metric(n);x;λi.r0) = a ∈ {a:ℝ| r0 < a} ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜||x|| = b ∈ {b:ℝ| r0 < b} ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert mdist(max-metric(n);λi.r0;(b/a)*x) = (|(b/a)| * a) BY
               ((RWO "mdist-symm" 0 THENA Auto)
                THEN (RWO "mdist-max-metric-mul" 0 THENA Auto)
                THEN BLemma `rmul_functionality`
                THEN Auto))
   THEN (Assert r0 < a BY
               Auto)
   THEN (Assert r0 < b BY
               Auto)
   THEN (Assert r0 < (b/a) BY
               (nRMul ⌜a⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN DupHyp (-1)
   THEN (nRMul ⌜b⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ||(b/a)*x|| = ((b/a) * b) BY
               ((RWO "real-vec-norm-mul" 0 THENA Auto)
                THEN BLemma `rmul_functionality`
                THEN Auto
                THEN RWO "rabs-of-nonneg" 0
                THEN Auto))) }

1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
9. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
10. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
11. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
12. x : ℝ^n
13. [%22] : mdist(rn-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
14. r0 < ||x||
15. r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;x)
16. r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)
17. a : {a:ℝ| r0 < a} 
18. mdist(max-metric(n);x;λi.r0) = a ∈ {a:ℝ| r0 < a} 
19. b : {b:ℝ| r0 < b} 
20. ||x|| = b ∈ {b:ℝ| r0 < b} 
21. mdist(max-metric(n);λi.r0;(b/a)*x) = (|(b/a)| * a)
22. r0 < a
23. r0 < b
24. r0 < (b/a)
25. r0 < (b * b/a)
26. ||(b/a)*x|| = ((b/a) * b)
⊢ g x ≡ (b/a)*x ⇒ h (b/a)*x ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;(b/a)*x)/||(b/a)*x||)*(b/a)*x ⇒ h (g x) ≡ x

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\} 
4.  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
8.  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
9.  h  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
10.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
11.  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
12.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
13.  [\%22]  :  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)  \mleq{}  r1
14.  r0  <  ||x||
15.  g  x  \mequiv{}  (||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))*x
16.  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)
17.  r0  <  mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)
18.  h  (||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))*x  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p) 
                                                                                              (||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))*x
\mvdash{}  h  (g  x)  \mequiv{}  x


By

---

Latex:
(Reduce  -1
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  MoveToConcl  (-3)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)  =  a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}||x||  =  b\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;(b/a)*x)  =  (|(b/a)|  *  a)  BY
                          ((RWO  "mdist-symm"  0  THENA  Auto)
                            THEN  (RWO  "mdist-max-metric-mul"  0  THENA  Auto)
                            THEN  BLemma  `rmul\_functionality`
                            THEN  Auto))
  THEN  (Assert  r0  <  a  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  r0  <  b  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  r0  <  (b/a)  BY
                          (nRMul  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  DupHyp  (-1)
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  ||(b/a)*x||  =  ((b/a)  *  b)  BY
                          ((RWO  "real-vec-norm-mul"  0  THENA  Auto)
                            THEN  BLemma  `rmul\_functionality`
                            THEN  Auto
                            THEN  RWO  "rabs-of-nonneg"  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index