---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma unit-balls-homeomorphic+


1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
9. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
10. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
11. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . h p ≡ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p) p
12. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
13. x : ℝ^n
14. [%22] : mdist(rn-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
15. r0 < ||x||
16. g x ≡ (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
⊢ h (g x) ≡ x
BY
{ ((FHyp 5 [-2] THENA Auto)
   THEN DupHyp (-1)
   THEN (RWO "mdist-symm" (-1) THENA Auto)
   THEN (D 11 With ⌜(||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x⌝  THENA (MemTypeCD THEN Auto))) }

1
.....set predicate..... 
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
9. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
10. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
11. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
12. x : ℝ^n
13. mdist(rn-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
14. r0 < ||x||
15. g x ≡ (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
16. r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;x)
17. r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)
⊢ r0 < ||(||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x||

2
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
9. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
10. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
11. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
12. x : ℝ^n
13. [%22] : mdist(rn-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
14. r0 < ||x||
15. g x ≡ (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
16. r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;x)
17. r0 < mdist(max-metric(n);x;λi.r0)
18. h (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x ≡ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p) 
                                               (||x||/mdist(max-metric(n);x;λi.r0))*x
⊢ h (g x) ≡ x

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\} 
4.  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
8.  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
9.  h  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
10.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
11.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  h  p  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p)  p
12.  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
13.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
14.  [\%22]  :  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)  \mleq{}  r1
15.  r0  <  ||x||
16.  g  x  \mequiv{}  (||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))*x
\mvdash{}  h  (g  x)  \mequiv{}  x


By

---

Latex:
((FHyp  5  [-2]  THENA  Auto)
  THEN  DupHyp  (-1)
  THEN  (RWO  "mdist-symm"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (D  11  With  \mkleeneopen{}(||x||/mdist(max-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))*x\mkleeneclose{}    THENA  (MemTypeCD  THEN  Auto)))

---

Home Index