---

Step * 1 2 1 1 2 1 3 of Lemma Riemann-sum-alt-req


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (x = y) ⇒ ((f y) = (f x)))@i
6. k : ℕ+
7. icompact([a, b])
8. ∀i:ℕk. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ [a, b])
9. (∀x∈full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)).x ∈ [a, b])
⊢ (b - a/r(k)) * (f ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k))) = (f full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))[i])
* (full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))[i + 1] 
  - full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))[i]) for i ∈ [0,k - 1]
BY
{ ((D 0 THEN Auto)
   THEN (RW (AddrC [1] (LemmaC `rmul_comm`)) 0 THENA Auto)
   THEN RepUR ``full-partition uniform-partition`` 0
   THEN (RWW "length-append mklist_length mklist_select" 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (x = y) ⇒ ((f y) = (f x)))@i
6. k : ℕ+
7. icompact([a, b])
8. ∀i:ℕk. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ [a, b])
9. (∀x∈full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)).x ∈ [a, b])
10. i : ℤ@i
11. 0 ≤ i@i
12. i ≤ (k - 1)@i
⊢ ((f ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k))) * (b - a/r(k)))
= ((f [a / (mklist(k - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1)) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))) @ [b])][i])
  * ([a / (mklist(k - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1)) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))) @ [b])][i + 1] - [a / 
                                                                                              (mklist(k 
                                                                                              - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1))
                                                                                                     * a)
                                                                                                     + (r(i + 1)
                                                                                                       * b)/r(k)))
                                                                                              @ [b])][i]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  y)  =  (f  x)))@i
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  icompact([a,  b])
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((r(k  -  i)  *  a)  +  (r(i)  *  b)/r(k))  \mmember{}  [a,  b])
9.  (\mforall{}x\mmember{}full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k)).x  \mmember{}  [a,  b])
\mvdash{}  (b  -  a/r(k))
*  (f  ((r(k  -  i)  *  a)  +  (r(i)  *  b)/r(k)))  =  (f  full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))[i])
*  (full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))[i  +  1] 
    -  full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))[i])  for  i  \mmember{}  [0,k  -  1]


By

---

Latex:
((D  0  THEN  Auto)
  THEN  (RW  (AddrC  [1]  (LemmaC  `rmul\_comm`))  0  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``full-partition  uniform-partition``  0
  THEN  (RWW  "length-append  mklist\_length  mklist\_select"  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)

---

Home Index