---

Step * 1 2 1 1 2 1 3 1 of Lemma Riemann-sum-alt-req


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (x = y) ⇒ ((f y) = (f x)))@i
6. k : ℕ+
7. icompact([a, b])
8. ∀i:ℕk. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ [a, b])
9. (∀x∈full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)).x ∈ [a, b])
10. i : ℤ@i
11. 0 ≤ i@i
12. i ≤ (k - 1)@i
⊢ ((f ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k))) * (b - a/r(k)))
= ((f [a / (mklist(k - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1)) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))) @ [b])][i])
  * ([a / (mklist(k - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1)) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))) @ [b])][i + 1] - [a / 
                                                                                              (mklist(k 
                                                                                              - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1))
                                                                                                     * a)
                                                                                                     + (r(i + 1)
                                                                                                       * b)/r(k)))
                                                                                              @ [b])][i]))
BY
{ Assert ⌜∀i:ℕk + 1
            ([a / (mklist(k - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1)) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))) @ [b])][i]
            = ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (x = y) ⇒ ((f y) = (f x)))@i
6. k : ℕ+
7. icompact([a, b])
8. ∀i:ℕk. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ [a, b])
9. (∀x∈full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)).x ∈ [a, b])
10. i : ℤ@i
11. 0 ≤ i@i
12. i ≤ (k - 1)@i
⊢ ∀i:ℕk + 1
    ([a / (mklist(k - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1)) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))) @ [b])][i]
    = ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)))

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (x = y) ⇒ ((f y) = (f x)))@i
6. k : ℕ+
7. icompact([a, b])
8. ∀i:ℕk. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ [a, b])
9. (∀x∈full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)).x ∈ [a, b])
10. i : ℤ@i
11. 0 ≤ i@i
12. i ≤ (k - 1)@i
13. ∀i:ℕk + 1
      ([a / (mklist(k - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1)) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))) @ [b])][i]
      = ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)))
⊢ ((f ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k))) * (b - a/r(k)))
= ((f [a / (mklist(k - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1)) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))) @ [b])][i])
  * ([a / (mklist(k - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1)) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))) @ [b])][i + 1] - [a / 
                                                                                              (mklist(k 
                                                                                              - 1;λi.(((r(k) - r(i + 1))
                                                                                                     * a)
                                                                                                     + (r(i + 1)
                                                                                                       * b)/r(k)))
                                                                                              @ [b])][i]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  y)  =  (f  x)))@i
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  icompact([a,  b])
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((r(k  -  i)  *  a)  +  (r(i)  *  b)/r(k))  \mmember{}  [a,  b])
9.  (\mforall{}x\mmember{}full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k)).x  \mmember{}  [a,  b])
10.  i  :  \mBbbZ{}@i
11.  0  \mleq{}  i@i
12.  i  \mleq{}  (k  -  1)@i
\mvdash{}  ((f  ((r(k  -  i)  *  a)  +  (r(i)  *  b)/r(k)))  *  (b  -  a/r(k)))
=  ((f  [a  /  (mklist(k  -  1;\mlambda{}i.(((r(k)  -  r(i  +  1))  *  a)  +  (r(i  +  1)  *  b)/r(k)))  @  [b])][i])
    *  ([a  /  (mklist(k  -  1;\mlambda{}i.(((r(k)  -  r(i  +  1))  *  a)  +  (r(i  +  1)  *  b)/r(k)))  @  [b])][i  +  1] 
        -  [a  /  (mklist(k  -  1;\mlambda{}i.(((r(k)  -  r(i  +  1))  *  a)  +  (r(i  +  1)  *  b)/r(k)))  @  [b])][i]))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}i:\mBbbN{}k  +  1
                    ([a  /  (mklist(k  -  1;\mlambda{}i.(((r(k)  -  r(i  +  1))  *  a)  +  (r(i  +  1)  *  b)/r(k)))  @  [b])][i]
                    =  ((r(k  -  i)  *  a)  +  (r(i)  *  b)/r(k)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index