---

Step * 1 of Lemma Riemann-sums-cauchy


1. a : ℝ@i
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} @i
3. f : [a, b] ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
5. n : ℕ+@i
⊢ ∃N:{ℕ| (∀k,m:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m + 1)| ≤ (r1/r(n)))))}
BY
{ ((Assert r0 ≤ (b - a) BY
          (DVar `b' THEN Unhide THEN Auto THEN nRAdd ⌜a⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN (Assert r0 ≤ (r(2 * n) * (b - a)) BY
               (BLemma `rmul-nonneg` THEN Auto))
   THEN (InstLemma `integer-bound` [⌜r(2 * n) * (b - a)⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN RenameVar `m' (-2)) }

1
1. a : ℝ@i
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} @i
3. f : [a, b] ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
5. n : ℕ+@i
6. r0 ≤ (b - a)
7. r0 ≤ (r(2 * n) * (b - a))
8. m : ℕ+
9. |r(2 * n) * (b - a)| ≤ r(m)
⊢ ∃N:{ℕ| (∀k,m:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m + 1)| ≤ (r1/r(n)))))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}@i
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\}  @i
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]@i
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
\mvdash{}  \mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}k,m:\mBbbN{}.
                        ((N  \mleq{}  k)
                        {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m)
                        {}\mRightarrow{}  (|Riemann-sum(f;a;b;k  +  1)  -  Riemann-sum(f;a;b;m  +  1)|  \mleq{}  (r1/r(n)))))\}


By

---

Latex:
((Assert  r0  \mleq{}  (b  -  a)  BY
                (DVar  `b'  THEN  Unhide  THEN  Auto  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  (r(2  *  n)  *  (b  -  a))  BY
                          (BLemma  `rmul-nonneg`  THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `integer-bound`  [\mkleeneopen{}r(2  *  n)  *  (b  -  a)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  RenameVar  `m'  (-2))

---

Home Index