---

Step * 1 1 of Lemma Riemann-sums-cauchy


1. a : ℝ@i
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} @i
3. f : [a, b] ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
5. n : ℕ+@i
6. r0 ≤ (b - a)
7. r0 ≤ (r(2 * n) * (b - a))
8. m : ℕ+
9. |r(2 * n) * (b - a)| ≤ r(m)
⊢ ∃N:{ℕ| (∀k,m:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m + 1)| ≤ (r1/r(n)))))}
BY
{ ((Assert mc 1 m ∈ ∃d:{ℝ| ((r0 < d)
                           ∧ (∀x,y:ℝ.
                                ((x ∈ [a, b]) ⇒ (y ∈ [a, b]) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(m))))))} BY
          (DoSubsume THEN Auto THEN MemTypeCD THEN Auto THEN RepUR ``i-approx`` 0 THEN Auto THEN EAuto 1))
   THEN (MemTypeHD (-1) THENA Auto)
   THEN (Assert (r0 < (mc 1 m))
               ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (y ∈ [a, b]) ⇒ (|x - y| ≤ (mc 1 m)) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(m))))) BY
               (Unhide THEN Auto))
   THEN Thin (-2)) }

1
1. a : ℝ@i
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} @i
3. f : [a, b] ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
5. n : ℕ+@i
6. r0 ≤ (b - a)
7. r0 ≤ (r(2 * n) * (b - a))
8. m : ℕ+
9. |r(2 * n) * (b - a)| ≤ r(m)
10. (mc 1 m) = (mc 1 m) ∈ ℝ
11. (r0 < (mc 1 m)) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (y ∈ [a, b]) ⇒ (|x - y| ≤ (mc 1 m)) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(m)))))
⊢ ∃N:{ℕ| (∀k,m:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m + 1)| ≤ (r1/r(n)))))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}@i
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\}  @i
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]@i
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
6.  r0  \mleq{}  (b  -  a)
7.  r0  \mleq{}  (r(2  *  n)  *  (b  -  a))
8.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  |r(2  *  n)  *  (b  -  a)|  \mleq{}  r(m)
\mvdash{}  \mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}k,m:\mBbbN{}.
                        ((N  \mleq{}  k)
                        {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m)
                        {}\mRightarrow{}  (|Riemann-sum(f;a;b;k  +  1)  -  Riemann-sum(f;a;b;m  +  1)|  \mleq{}  (r1/r(n)))))\}


By

---

Latex:
((Assert  mc  1  m  \mmember{}  \mexists{}d:\{\mBbbR{}|  ((r0  <  d)
                                                  \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                                            ((x  \mmember{}  [a,  b])
                                                            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  [a,  b])
                                                            {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                                            {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(m))))))\}  BY
                (DoSubsume
                  THEN  Auto
                  THEN  MemTypeCD
                  THEN  Auto
                  THEN  RepUR  ``i-approx``  0
                  THEN  Auto
                  THEN  EAuto  1))
  THEN  (MemTypeHD  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  (r0  <  (mc  1  m))
                          \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                    ((x  \mmember{}  [a,  b])
                                    {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  [a,  b])
                                    {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  (mc  1  m))
                                    {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(m)))))  BY
                          (Unhide  THEN  Auto))
  THEN  Thin  (-2))

---

Home Index