---

Step * 1 1 of Lemma Taylor-theorem


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. d : ℝ
12. r0 < d
13. (|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)
14. r0 < |a - b|
⊢ ∃c:ℝ
   ((rmin(a;b) ≤ c)
   ∧ (c ≤ rmax(a;b))
   ∧ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) - (b - c^n * (F[n + 1;c]/r((n)!))) * (b - a)| ≤ e))
BY
{ (BLemma `Taylor-theorem-case1` THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. d : ℝ
12. r0 < d
13. (|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)
14. r0 < |a - b|
⊢ b - a ≠ r0

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  F  :  \mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
8.  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
9.  e  :  \mBbbR{}
10.  r0  <  e
11.  d  :  \mBbbR{}
12.  r0  <  d
13.  (|a  -  b|  <  d)  {}\mRightarrow{}  (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])|  \mleq{}  e)
14.  r0  <  |a  -  b|
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbR{}
      ((rmin(a;b)  \mleq{}  c)
      \mwedge{}  (c  \mleq{}  rmax(a;b))
      \mwedge{}  (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])  -  (b  -  c\^{}n  *  (F[n  +  1;c]/r((n)!)))  *  (b  -  a)|  \mleq{}  e))


By

---

Latex:
(BLemma  `Taylor-theorem-case1`  THEN  Auto)

---

Home Index