---

Step * 1 1 1 1 of Lemma accelerate_wf


1. k : ℕ+
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. accelerate(k;f) ∈ ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (f n)) - n * (f m)| ≤ ((2 * k) * (n + m)))
5. n : ℕ+@i
6. m : ℕ+@i
7. ∀m,x:ℤ.  ((2 * k) * m * (x ÷ 2 * k) ~ (m * x) - m * (x rem 2 * k))
⊢ |(2 * k) * ((m * ((f ((2 * k) * n)) ÷ 2 * k)) - n * ((f ((2 * k) * m)) ÷ 2 * k))| ≤ (|2 * k| * 2 * (n + m))
BY
{ ((Subst' (2 * k) * ((m * ((f ((2 * k) * n)) ÷ 2 * k)) - n * ((f ((2 * k) * m)) ÷ 2 * k)) ~ ((2 * k)
    * m
    * ((f ((2 * k) * n)) ÷ 2 * k)) - (2 * k) * n * ((f ((2 * k) * m)) ÷ 2 * k) 0
    THENA Auto
    )
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(f ((2 * k) * n) rem 2 * k) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * k|} ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(f ((2 * k) * m) rem 2 * k) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * k|} ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. k : ℕ+
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. accelerate(k;f) ∈ ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (f n)) - n * (f m)| ≤ ((2 * k) * (n + m)))
5. n : ℕ+@i
6. m : ℕ+@i
7. ∀m,x:ℤ.  ((2 * k) * m * (x ÷ 2 * k) ~ (m * x) - m * (x rem 2 * k))
8. r1 : {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
9. (f ((2 * k) * n) rem 2 * k) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
10. r2 : {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
11. (f ((2 * k) * m) rem 2 * k) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
⊢ |(m * (f ((2 * k) * n))) - m * r1 - (n * (f ((2 * k) * m))) - n * r2| ≤ (|2 * k| * 2 * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  f  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  accelerate(k;f)  \mmember{}  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(m  *  (f  n))  -  n  *  (f  m)|  \mleq{}  ((2  *  k)  *  (n  +  m)))
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
6.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
7.  \mforall{}m,x:\mBbbZ{}.    ((2  *  k)  *  m  *  (x  \mdiv{}  2  *  k)  \msim{}  (m  *  x)  -  m  *  (x  rem  2  *  k))
\mvdash{}  |(2  *  k)  *  ((m  *  ((f  ((2  *  k)  *  n))  \mdiv{}  2  *  k))  -  n  *  ((f  ((2  *  k)  *  m))  \mdiv{}  2  *  k))|  \mleq{}  (|2  *  k|
    *  2
    *  (n  +  m))


By

---

Latex:
((Subst'  (2  *  k)  *  ((m  *  ((f  ((2  *  k)  *  n))  \mdiv{}  2  *  k))  -  n  *  ((f  ((2  *  k)  *  m))  \mdiv{}  2  *  k))  \msim{}  ((2  *  k)
    *  m
    *  ((f  ((2  *  k)  *  n))  \mdiv{}  2  *  k))  -  (2  *  k)  *  n  *  ((f  ((2  *  k)  *  m))  \mdiv{}  2  *  k)  0
    THENA  Auto
    )
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(f  ((2  *  k)  *  n)  rem  2  *  k)  =  r1\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(f  ((2  *  k)  *  m)  rem  2  *  k)  =  r2\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index