---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma accelerate_wf


1. k : ℕ+
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. accelerate(k;f) ∈ ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (f n)) - n * (f m)| ≤ ((2 * k) * (n + m)))
5. n : ℕ+@i
6. m : ℕ+@i
7. ∀m,x:ℤ.  ((2 * k) * m * (x ÷ 2 * k) ~ (m * x) - m * (x rem 2 * k))
8. r1 : {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
9. (f ((2 * k) * n) rem 2 * k) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
10. r2 : {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
11. (f ((2 * k) * m) rem 2 * k) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
⊢ |(m * (f ((2 * k) * n))) - m * r1 - (n * (f ((2 * k) * m))) - n * r2| ≤ (|2 * k| * 2 * (n + m))
BY
{ ((Assert |(m * (f ((2 * k) * n))) - m * r1 - (n * (f ((2 * k) * m))) - n * r2| ≤ (|(m * (f ((2 * k) * n))) - n
                                                                                    * (f ((2 * k) * m))|
           + |-(m * r1)|
           + |n * r2|) BY
          (RepeatFor 2 ((RWO "int-triangle-inequality<" 0 THENA Auto)) THEN RW IntNormC 0 THEN Auto))
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Auto) }

1
1. k : ℕ+
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. accelerate(k;f) ∈ ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (f n)) - n * (f m)| ≤ ((2 * k) * (n + m)))
5. n : ℕ+@i
6. m : ℕ+@i
7. ∀m,x:ℤ.  ((2 * k) * m * (x ÷ 2 * k) ~ (m * x) - m * (x rem 2 * k))
8. r1 : {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
9. (f ((2 * k) * n) rem 2 * k) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
10. r2 : {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
11. (f ((2 * k) * m) rem 2 * k) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * k|} 
12. |(m * (f ((2 * k) * n))) - m * r1 - (n * (f ((2 * k) * m))) - n * r2| ≤ (|(m * (f ((2 * k) * n))) - n
                                                                             * (f ((2 * k) * m))|
    + |-(m * r1)|
    + |n * r2|)
⊢ (|(m * (f ((2 * k) * n))) - n * (f ((2 * k) * m))| + |-(m * r1)| + |n * r2|) ≤ (|2 * k| * 2 * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  f  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  accelerate(k;f)  \mmember{}  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(m  *  (f  n))  -  n  *  (f  m)|  \mleq{}  ((2  *  k)  *  (n  +  m)))
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
6.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
7.  \mforall{}m,x:\mBbbZ{}.    ((2  *  k)  *  m  *  (x  \mdiv{}  2  *  k)  \msim{}  (m  *  x)  -  m  *  (x  rem  2  *  k))
8.  r1  :  \{r:\mBbbZ{}|  |r|  <  |2  *  k|\} 
9.  (f  ((2  *  k)  *  n)  rem  2  *  k)  =  r1
10.  r2  :  \{r:\mBbbZ{}|  |r|  <  |2  *  k|\} 
11.  (f  ((2  *  k)  *  m)  rem  2  *  k)  =  r2
\mvdash{}  |(m  *  (f  ((2  *  k)  *  n)))  -  m  *  r1  -  (n  *  (f  ((2  *  k)  *  m)))  -  n  *  r2|  \mleq{}  (|2  *  k|  *  2  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
((Assert  |(m  *  (f  ((2  *  k)  *  n)))  -  m  *  r1  -  (n  *  (f  ((2  *  k)  *  m)))  -  n  *  r2|  \mleq{}  (|(m
                                                                                                                                                                    *  (f 
                                                                                                                                                                          ((2  *  k)
                                                                                                                                                                          *  n)))  -  n
                                                                                                                                                                    *  (f 
                                                                                                                                                                          ((2  *  k)  *  m))|
                  +  |-(m  *  r1)|
                  +  |n  *  r2|)  BY
                (RepeatFor  2  ((RWO  "int-triangle-inequality<"  0  THENA  Auto))  THEN  RW  IntNormC  0  THEN  Auto))
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index