---

Step * 2 1 2 1 of Lemma cantor-interval-inclusion


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. ∀[n:ℕ]
     (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
6. n : ℕ
7. d : ℤ
8. 0 < d
9. ((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + (d - 1)))))
∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + (d - 1)))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + (d - 1)))))
∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + (d - 1)))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))
10. ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + (d - 1)))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;(n + (d - 1)) + 1))))
∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;(n + (d - 1)) + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;(n + (d - 1)) + 1))))
∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;(n + (d - 1)) + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + (d - 1)))))
⊢ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))
BY
{ (Subst' (n + (d - 1)) + 1 ~ n + d 0 THEN Auto THEN Subst' n + d ~ (n + (d - 1)) + 1 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}[n:\mBbbN{}]
          (((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  1))))
          \mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  1)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  1))))
          \mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  1)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  d  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  d
9.  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  (d  -  1)))))
\mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  (d  -  1))))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  (d  -  1)))))
\mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  (d  -  1))))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))
10.  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  (d  -  1))))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;(n  +  (d  -  1))  +  1))))
\mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;(n  +  (d  -  1))  +  1)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;(n  +  (d  -  1))
    +  1))))
\mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;(n  +  (d  -  1))  +  1)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  (d  -  1)))))
\mvdash{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  d))))
\mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  d)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  d))))
\mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  d)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))


By

---

Latex:
(Subst'  (n  +  (d  -  1))  +  1  \msim{}  n  +  d  0  THEN  Auto  THEN  Subst'  n  +  d  \msim{}  (n  +  (d  -  1))  +  1  0  THEN  Auto)

---

Home Index