---

Step * 2 1 1 2 1 of Lemma closures-meet-sq


1. P : ℝ ⟶ ℙ
2. Q : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. (Q b0) ∧ (a0 ≤ b0)
6. c : ℝ
7. (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)
8. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
9. ∀n:ℕ
     (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
     ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
     ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) * c)))
10. n : ℤ
11. 0 < n
12. r0≤(snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])≤((snd(s[0])) - fst(s[0])) * c^n - 1
13. ((fst(s[n - 1])) ≤ (fst(s[n])))
∧ ((snd(s[n])) ≤ (snd(s[n - 1])))
∧ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) ≤ (((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])) * c))
⊢ r0≤(snd(s[n])) - fst(s[n])≤((snd(s[0])) - fst(s[0])) * c^n
BY
{ (D (-2) THEN D 0 THEN Auto) }

1
1. P : ℝ ⟶ ℙ
2. Q : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. Q b0
6. a0 ≤ b0
7. c : ℝ
8. r0 ≤ c
9. c < r1
10. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
11. ∀n:ℕ
      (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
      ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
      ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) * c)))
12. n : ℤ
13. 0 < n
14. r0 ≤ ((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1]))
15. ((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])) ≤ (((snd(s[0])) - fst(s[0])) * c^n - 1)
16. (fst(s[n - 1])) ≤ (fst(s[n]))
17. (snd(s[n])) ≤ (snd(s[n - 1]))
18. ((snd(s[n])) - fst(s[n])) ≤ (((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])) * c)
⊢ r0 ≤ ((snd(s[n])) - fst(s[n]))

2
1. P : ℝ ⟶ ℙ
2. Q : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. Q b0
6. a0 ≤ b0
7. c : ℝ
8. r0 ≤ c
9. c < r1
10. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
11. ∀n:ℕ
      (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
      ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
      ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) * c)))
12. n : ℤ
13. 0 < n
14. r0 ≤ ((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1]))
15. ((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])) ≤ (((snd(s[0])) - fst(s[0])) * c^n - 1)
16. (fst(s[n - 1])) ≤ (fst(s[n]))
17. (snd(s[n])) ≤ (snd(s[n - 1]))
18. ((snd(s[n])) - fst(s[n])) ≤ (((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])) * c)
⊢ ((snd(s[n])) - fst(s[n])) ≤ (((snd(s[0])) - fst(s[0])) * c^n)

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \{a:\mBbbR{}|  P  a\} 
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  (Q  b0)  \mwedge{}  (a0  \mleq{}  b0)
6.  c  :  \mBbbR{}
7.  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)
8.  s  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  )
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          (((fst(s[n]))  \mleq{}  (fst(s[n  +  1])))
          \mwedge{}  ((snd(s[n  +  1]))  \mleq{}  (snd(s[n])))
          \mwedge{}  (((snd(s[n  +  1]))  -  fst(s[n  +  1]))  \mleq{}  (((snd(s[n]))  -  fst(s[n]))  *  c)))
10.  n  :  \mBbbZ{}
11.  0  <  n
12.  r0\mleq{}(snd(s[n  -  1]))  -  fst(s[n  -  1])\mleq{}((snd(s[0]))  -  fst(s[0]))  *  c\^{}n  -  1
13.  ((fst(s[n  -  1]))  \mleq{}  (fst(s[n])))
\mwedge{}  ((snd(s[n]))  \mleq{}  (snd(s[n  -  1])))
\mwedge{}  (((snd(s[n]))  -  fst(s[n]))  \mleq{}  (((snd(s[n  -  1]))  -  fst(s[n  -  1]))  *  c))
\mvdash{}  r0\mleq{}(snd(s[n]))  -  fst(s[n])\mleq{}((snd(s[0]))  -  fst(s[0]))  *  c\^{}n


By

---

Latex:
(D  (-2)  THEN  D  0  THEN  Auto)

---

Home Index