---

Step * 2 1 1 2 1 2 of Lemma closures-meet-sq


1. P : ℝ ⟶ ℙ
2. Q : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. Q b0
6. a0 ≤ b0
7. c : ℝ
8. r0 ≤ c
9. c < r1
10. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
11. ∀n:ℕ
      (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
      ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
      ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) * c)))
12. n : ℤ
13. 0 < n
14. r0 ≤ ((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1]))
15. ((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])) ≤ (((snd(s[0])) - fst(s[0])) * c^n - 1)
16. (fst(s[n - 1])) ≤ (fst(s[n]))
17. (snd(s[n])) ≤ (snd(s[n - 1]))
18. ((snd(s[n])) - fst(s[n])) ≤ (((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])) * c)
⊢ ((snd(s[n])) - fst(s[n])) ≤ (((snd(s[0])) - fst(s[0])) * c^n)
BY
{ ((RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN MoveToConcl (-4)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜(snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])⌝;⌜(snd(s[0])) - fst(s[0])⌝]⋅) }

1
1. P : ℝ ⟶ ℙ
2. Q : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. Q b0
6. a0 ≤ b0
7. c : ℝ
8. r0 ≤ c
9. c < r1
10. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
11. ∀n:ℕ
      (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
      ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
      ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) * c)))
12. n : ℤ
13. 0 < n
14. r0 ≤ ((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1]))
15. (fst(s[n - 1])) ≤ (fst(s[n]))
16. (snd(s[n])) ≤ (snd(s[n - 1]))
17. ((snd(s[n])) - fst(s[n])) ≤ (((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])) * c)
18. v : ℝ
19. ((snd(s[n - 1])) - fst(s[n - 1])) = v ∈ ℝ
20. v1 : ℝ
21. ((snd(s[0])) - fst(s[0])) = v1 ∈ ℝ
⊢ (v ≤ (v1 * c^n - 1)) ⇒ ((v * c) ≤ (v1 * c^n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \{a:\mBbbR{}|  P  a\} 
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  Q  b0
6.  a0  \mleq{}  b0
7.  c  :  \mBbbR{}
8.  r0  \mleq{}  c
9.  c  <  r1
10.  s  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  )
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}
            (((fst(s[n]))  \mleq{}  (fst(s[n  +  1])))
            \mwedge{}  ((snd(s[n  +  1]))  \mleq{}  (snd(s[n])))
            \mwedge{}  (((snd(s[n  +  1]))  -  fst(s[n  +  1]))  \mleq{}  (((snd(s[n]))  -  fst(s[n]))  *  c)))
12.  n  :  \mBbbZ{}
13.  0  <  n
14.  r0  \mleq{}  ((snd(s[n  -  1]))  -  fst(s[n  -  1]))
15.  ((snd(s[n  -  1]))  -  fst(s[n  -  1]))  \mleq{}  (((snd(s[0]))  -  fst(s[0]))  *  c\^{}n  -  1)
16.  (fst(s[n  -  1]))  \mleq{}  (fst(s[n]))
17.  (snd(s[n]))  \mleq{}  (snd(s[n  -  1]))
18.  ((snd(s[n]))  -  fst(s[n]))  \mleq{}  (((snd(s[n  -  1]))  -  fst(s[n  -  1]))  *  c)
\mvdash{}  ((snd(s[n]))  -  fst(s[n]))  \mleq{}  (((snd(s[0]))  -  fst(s[0]))  *  c\^{}n)


By

---

Latex:
((RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-4)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}(snd(s[n  -  1]))  -  fst(s[n  -  1])\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(snd(s[0]))  -  fst(s[0])\mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index