---

Step * 2 1 2 1 2 1 of Lemma closures-meet-sq


1. P : ℝ ⟶ ℙ
2. Q : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. Q b0
6. a0 ≤ b0
7. c : ℝ
8. r0 ≤ c
9. c < r1
10. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
11. ∀n:ℕ
      (((fst((s n))) ≤ (fst((s (n + 1)))))
      ∧ ((snd((s (n + 1)))) ≤ (snd((s n))))
      ∧ (((snd((s (n + 1)))) - fst((s (n + 1)))) ≤ (((snd((s n))) - fst((s n))) * c)))
12. v : ℝ
13. ((snd((s 0))) - fst((s 0))) = v ∈ ℝ
14. ∀n:ℕ. r0≤(snd((s n))) - fst((s n))≤v * c^n
15. lim n→∞.v * c^n = r0
16. n : ℕ
17. (fst((s n))) ≤ (fst((s (n + 1))))
⊢ (fst((s (n + 1)))) ≤ (snd((s (n + 1))))
BY
{ (GenConclTerm ⌜s (n + 1)⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. P : ℝ ⟶ ℙ
2. Q : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. Q b0
6. a0 ≤ b0
7. c : ℝ
8. r0 ≤ c
9. c < r1
10. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
11. ∀n:ℕ
      (((fst((s n))) ≤ (fst((s (n + 1)))))
      ∧ ((snd((s (n + 1)))) ≤ (snd((s n))))
      ∧ (((snd((s (n + 1)))) - fst((s (n + 1)))) ≤ (((snd((s n))) - fst((s n))) * c)))
12. v : ℝ
13. ((snd((s 0))) - fst((s 0))) = v ∈ ℝ
14. ∀n:ℕ. r0≤(snd((s n))) - fst((s n))≤v * c^n
15. lim n→∞.v * c^n = r0
16. n : ℕ
17. (fst((s n))) ≤ (fst((s (n + 1))))
18. v1 : a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
19. (s (n + 1)) = v1 ∈ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
⊢ (fst(v1)) ≤ (snd(v1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \{a:\mBbbR{}|  P  a\} 
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  Q  b0
6.  a0  \mleq{}  b0
7.  c  :  \mBbbR{}
8.  r0  \mleq{}  c
9.  c  <  r1
10.  s  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  )
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}
            (((fst((s  n)))  \mleq{}  (fst((s  (n  +  1)))))
            \mwedge{}  ((snd((s  (n  +  1))))  \mleq{}  (snd((s  n))))
            \mwedge{}  (((snd((s  (n  +  1))))  -  fst((s  (n  +  1))))  \mleq{}  (((snd((s  n)))  -  fst((s  n)))  *  c)))
12.  v  :  \mBbbR{}
13.  ((snd((s  0)))  -  fst((s  0)))  =  v
14.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  r0\mleq{}(snd((s  n)))  -  fst((s  n))\mleq{}v  *  c\^{}n
15.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.v  *  c\^{}n  =  r0
16.  n  :  \mBbbN{}
17.  (fst((s  n)))  \mleq{}  (fst((s  (n  +  1))))
\mvdash{}  (fst((s  (n  +  1))))  \mleq{}  (snd((s  (n  +  1))))


By

---

Latex:
(GenConclTerm  \mkleeneopen{}s  (n  +  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index