---

Step * 1 of Lemma continuous_functionality_wrt_subinterval


1. I : Interval
2. [f] : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. J ⊆ I 
5. ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} . ∀n:ℕ+.
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(J;m))} 
7. n : ℕ+
8. k : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n))} 
9. i-approx(J;m) ⊆ i-approx(I;k) 
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(J;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(J;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]
BY
{ ((InstHyp [⌜k⌝;⌜n⌝] 5⋅ THENA Auto) THEN (ParallelLast THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. J ⊆ I 
5. ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} . ∀n:ℕ+.
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(J;m))} 
7. n : ℕ+
8. k : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n))} 
9. i-approx(J;m) ⊆ i-approx(I;k) 
10. d : ℝ
11. r0 < d
12. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;k)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;k)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))
13. d1 : ℝ
14. x : r0 < d1
15. x1 : ℝ
16. y : ℝ
17. x2 : x1 ∈ i-approx(J;m)
18. x3 : y ∈ i-approx(J;m)
19. x4 : |x1 - y| ≤ d1
⊢ x1 ∈ {x:ℝ| x ∈ I} 

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. J ⊆ I 
5. ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} . ∀n:ℕ+.
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(J;m))} 
7. n : ℕ+
8. k : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n))} 
9. i-approx(J;m) ⊆ i-approx(I;k) 
10. d : ℝ
11. r0 < d
12. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;k)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;k)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))
13. d1 : ℝ
14. x : r0 < d1
15. x1 : ℝ
16. y : ℝ
17. x2 : x1 ∈ i-approx(J;m)
18. x3 : y ∈ i-approx(J;m)
19. x4 : |x1 - y| ≤ d1
⊢ y ∈ {x:ℝ| x ∈ I} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  [f]  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  J  :  Interval
4.  J  \msubseteq{}  I 
5.  \mforall{}m:\{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\}  .  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.
          (\mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                                {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                                {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))])
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(J;m))\} 
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  k  :  \{n:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))\} 
9.  i-approx(J;m)  \msubseteq{}  i-approx(I;k) 
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
              \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                        ((x  \mmember{}  i-approx(J;m))
                        {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(J;m))
                        {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                        {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))]


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]  5\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  (ParallelLast  THENA  Auto))

---

Home Index