---

Step * 1 1 of Lemma continuous_functionality_wrt_subinterval


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. J ⊆ I 
5. ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} . ∀n:ℕ+.
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(J;m))} 
7. n : ℕ+
8. k : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n))} 
9. i-approx(J;m) ⊆ i-approx(I;k) 
10. d : ℝ
11. r0 < d
12. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;k)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;k)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))
13. d1 : ℝ
14. x : r0 < d1
15. x1 : ℝ
16. y : ℝ
17. x2 : x1 ∈ i-approx(J;m)
18. x3 : y ∈ i-approx(J;m)
19. x4 : |x1 - y| ≤ d1
⊢ x1 ∈ {x:ℝ| x ∈ I} 
BY
{ ((Assert x1 ∈ i-approx(I;k) BY Auto) THEN FLemma `i-member-approx` [-1] THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  J  :  Interval
4.  J  \msubseteq{}  I 
5.  \mforall{}m:\{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\}  .  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.
          (\mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                                {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                                {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))])
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(J;m))\} 
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  k  :  \{n:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))\} 
9.  i-approx(J;m)  \msubseteq{}  i-approx(I;k) 
10.  d  :  \mBbbR{}
11.  r0  <  d
12.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            ((x  \mmember{}  i-approx(I;k))  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;k))  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))
13.  d1  :  \mBbbR{}
14.  x  :  r0  <  d1
15.  x1  :  \mBbbR{}
16.  y  :  \mBbbR{}
17.  x2  :  x1  \mmember{}  i-approx(J;m)
18.  x3  :  y  \mmember{}  i-approx(J;m)
19.  x4  :  |x1  -  y|  \mleq{}  d1
\mvdash{}  x1  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 


By

---

Latex:
((Assert  x1  \mmember{}  i-approx(I;k)  BY  Auto)  THEN  FLemma  `i-member-approx`  [-1]  THEN  Auto)

---

Home Index