---

Step * 2 1 1 2 2 1 1 1 1 of Lemma converges-iff-cauchy

.....assertion..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|x[n] - x[m]| ≤ (r1/r(k)))))])
3. f : k:ℕ+ ⟶ ℕ
4. ∀k:ℕ+. ∀n,m:ℕ.  (((f k) ≤ n) ⇒ ((f k) ≤ m) ⇒ (|x[n] - x[m]| ≤ (r1/r(k))))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|x[f n] - x[f m]| ≤ ((r1/r(n)) + (r1/r(m))))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (|x - (x within 1/n)| ≤ (r1/r(n)))
7. ∀n,m:ℕ+.  (|(x[f n] within 1/n) - (x[f m] within 1/m)| ≤ ((r(2)/r(n)) + (r(2)/r(m))))
8. 2-regular-seq(λn.(x[f n] n))
9. y : ℝ
10. accelerate(2;λn.(x[f n] n)) = y ∈ ℝ
11. bdd-diff(y;λn.(x[f n] n))
⊢ ∀n:ℕ+. (|y - (x[f n] within 1/n)| ≤ (r(2)/r(n)))
BY
{ (Auto THEN nRMul ⌜r(2 * n)⌝ 0⋅) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|x[n] - x[m]| ≤ (r1/r(k)))))])
3. f : k:ℕ+ ⟶ ℕ
4. ∀k:ℕ+. ∀n,m:ℕ.  (((f k) ≤ n) ⇒ ((f k) ≤ m) ⇒ (|x[n] - x[m]| ≤ (r1/r(k))))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|x[f n] - x[f m]| ≤ ((r1/r(n)) + (r1/r(m))))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (|x - (x within 1/n)| ≤ (r1/r(n)))
7. ∀n,m:ℕ+.  (|(x[f n] within 1/n) - (x[f m] within 1/m)| ≤ ((r(2)/r(n)) + (r(2)/r(m))))
8. 2-regular-seq(λn.(x[f n] n))
9. y : ℝ
10. accelerate(2;λn.(x[f n] n)) = y ∈ ℝ
11. bdd-diff(y;λn.(x[f n] n))
12. n : ℕ+
⊢ (r(2) * r(n) * |-((x[f n] within 1/n)) + y|) ≤ r(4)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  x[m]|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
3.  f  :  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}.    (((f  k)  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((f  k)  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  x[m]|  \mleq{}  (r1/r(k))))
5.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|x[f  n]  -  x[f  m]|  \mleq{}  ((r1/r(n))  +  (r1/r(m))))
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|x  -  (x  within  1/n)|  \mleq{}  (r1/r(n)))
7.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(x[f  n]  within  1/n)  -  (x[f  m]  within  1/m)|  \mleq{}  ((r(2)/r(n))  +  (r(2)/r(m))))
8.  2-regular-seq(\mlambda{}n.(x[f  n]  n))
9.  y  :  \mBbbR{}
10.  accelerate(2;\mlambda{}n.(x[f  n]  n))  =  y
11.  bdd-diff(y;\mlambda{}n.(x[f  n]  n))
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|y  -  (x[f  n]  within  1/n)|  \mleq{}  (r(2)/r(n)))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2  *  n)\mkleeneclose{}  0\mcdot{})

---

Home Index