---

Step * 1 1 1 1 of Lemma derivative-Taylor-approx


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
7. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
8. k : ℕn + 1
⊢ d((F[k;a]/r((k)!)) * b - a^k)/da = λa.((F[k;a]/r((k)!)) * if (k =z 0) then r0 else r(k) * b - a^k - 1 fi  * (r0 - r1))
+ (b - a^k * (F[k + 1;a]/r((k)!))) on I
BY
{ (ProveDerivativeStep⋅ THENA Auto) }

1
.....wf..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
7. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
8. k : ℕn + 1
⊢ λa.(F[k + 1;a]/r((k)!)) ∈ {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
7. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
8. k : ℕn + 1
9. k = 0 ∈ ℤ
⊢ λa.(r0 * (r0 - r1)) ∈ {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 

3
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
7. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
8. k : ℕn + 1
9. k ≠ 0
⊢ λa.((r(k) * b - a^k - 1) * (r0 - r1)) ∈ {h:I ⟶ℝ| ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))} 

4
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
7. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
8. k : ℕn + 1
⊢ d((F[k;a]/r((k)!)))/da = λa.(F[k + 1;a]/r((k)!)) on I

5
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
7. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
8. k : ℕn + 1
⊢ d(b - a^k)/da = λa.if (k =z 0) then r0 else r(k) * b - a^k - 1 fi  * (r0 - r1) on I

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  F  :  \mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
7.  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
8.  k  :  \mBbbN{}n  +  1
\mvdash{}  d((F[k;a]/r((k)!))  *  b  -  a\^{}k)/da  =  \mlambda{}a.((F[k;a]/r((k)!))
*  if  (k  =\msubz{}  0)  then  r0  else  r(k)  *  b  -  a\^{}k  -  1  fi 
*  (r0  -  r1))
+  (b  -  a\^{}k  *  (F[k  +  1;a]/r((k)!)))  on  I


By

---

Latex:
(ProveDerivativeStep\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index