---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma derivative-implies-decreasing


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f' : I ⟶ℝ
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
5. f'[x] continuous for x ∈ I
6. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] ≤ r0)
7. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
8. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. x < y
10. [x, y] ⊆ I 
11. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
⊢ f[y] ≤ f[x]
BY
{ (InstLemma `mean-value-theorem` [⌜x⌝;⌜y⌝;⌜f⌝;⌜f'⌝]⋅ THENA Auto)⋅ }

1
.....antecedent..... 
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f' : I ⟶ℝ
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
5. f'[x] continuous for x ∈ I
6. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] ≤ r0)
7. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
8. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. x < y
10. [x, y] ⊆ I 
11. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
⊢ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [x, y]

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f' : I ⟶ℝ
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
5. f'[x] continuous for x ∈ I
6. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] ≤ r0)
7. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
8. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. x < y
10. [x, y] ⊆ I 
11. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
12. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ [x, y]) ∧ (|f[y] - f[x] - f'[x@0] * (y - x)| ≤ e))))
⊢ f[y] ≤ f[x]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
5.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
6.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (f'[x]  \mleq{}  r0)
7.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
8.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  x  <  y
10.  [x,  y]  \msubseteq{}  I 
11.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [x,  y]
\mvdash{}  f[y]  \mleq{}  f[x]


By

---

Latex:
(InstLemma  `mean-value-theorem`  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f'\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)\mcdot{}

---

Home Index