---

Step * 2 1 2 of Lemma derivative-rpolynomial


1. n : ℤ
2. n ≠ 0
3. [%1] : 0 < n
4. ∀a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀I:Interval.
     d((Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.if (n - 1 =z 0)
     then r0
     else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i)
     fi  on I
5. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
6. I : Interval
7. d(((a n) * x^n) + (Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.(r(n) * (a n) * x^n - 1)
+ if (n - 1 =z 0) then r0 else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i) fi  on I
⊢ d((Σi≤n. a_i * x^i))/dx = λx.(Σi≤n - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i) on I
BY
{ (DerivativeFunctionality (-1) THEN Auto)⋅ }

1
1. n : ℤ
2. n ≠ 0
3. [%1] : 0 < n
4. ∀a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀I:Interval.
     d((Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.if (n - 1 =z 0)
     then r0
     else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i)
     fi  on I
5. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
6. I : Interval
7. d(((a n) * x^n) + (Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.(r(n) * (a n) * x^n - 1)
+ if (n - 1 =z 0) then r0 else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i) fi  on I
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
⊢ (((a n) * x^n) + (Σi≤n - 1. a_i * x^i)) = (Σi≤n. a_i * x^i)

2
1. n : ℤ
2. n ≠ 0
3. [%1] : 0 < n
4. ∀a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀I:Interval.
     d((Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.if (n - 1 =z 0)
     then r0
     else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i)
     fi  on I
5. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
6. I : Interval
7. d(((a n) * x^n) + (Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.(r(n) * (a n) * x^n - 1)
+ if (n - 1 =z 0) then r0 else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i) fi  on I
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
⊢ ((r(n) * (a n) * x^n - 1) + if (n - 1 =z 0) then r0 else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i) fi )
= (Σi≤n - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  n  \mneq{}  0
3.  [\%1]  :  0  <  n
4.  \mforall{}a:\mBbbN{}(n  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  \mforall{}I:Interval.
          d((\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  a\_i  *  x\^{}i))/dx  =  \mlambda{}x.if  (n  -  1  =\msubz{}  0)
          then  r0
          else  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1  -  1.  \mlambda{}i.(r(i  +  1)  *  (a  (i  +  1)))\_i  *  x\^{}i)
          fi    on  I
5.  a  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  I  :  Interval
7.  d(((a  n)  *  x\^{}n)  +  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  a\_i  *  x\^{}i))/dx  =  \mlambda{}x.(r(n)  *  (a  n)  *  x\^{}n  -  1)
+  if  (n  -  1  =\msubz{}  0)  then  r0  else  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1  -  1.  \mlambda{}i.(r(i  +  1)  *  (a  (i  +  1)))\_i  *  x\^{}i)  fi    on  I
\mvdash{}  d((\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  x\^{}i))/dx  =  \mlambda{}x.(\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  \mlambda{}i.(r(i  +  1)  *  (a  (i  +  1)))\_i  *  x\^{}i)  on  I


By

---

Latex:
(DerivativeFunctionality  (-1)  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index