---

Step * 1 2 1 of Lemma derivative-rsum


1. [I] : Interval
2. n : ℕ
3. m : {n...}
4. [f] : {n..m + 1-} ⟶ I ⟶ℝ
5. [f'] : {n..m + 1-} ⟶ I ⟶ℝ
6. ∀k:{n..m + 1-}. d(f[k;x])/dx = λx.f'[k;x] on I
7. d : ℤ
8. [%2] : 0 < d
9. d ≤ (m - n)
10. d(Σ{f[k;x] | n≤k≤n + (d - 1)})/dx = λx.Σ{f'[k;x] | n≤k≤n + (d - 1)} on I
11. d(f[n + d;x])/dx = λx.f'[n + d;x] on I
12. d(Σ{f[k;x] | n≤k≤n + (d - 1)} + f[n + d;x])/dx = λx.Σ{f'[k;x] | n≤k≤n + (d - 1)} + f'[n + d;x] on I
⊢ d(Σ{f[k;x] | n≤k≤n + d})/dx = λx.Σ{f'[k;x] | n≤k≤n + d} on I
BY
{ (DerivativeFunctionality (-1)
   THEN Auto
   THEN (RW (AddrC [2] (LemmaC `rsum_unroll`)) 0⋅ THENA Auto)
   THEN AutoSplit
   THEN Subst ⌜n + (d - 1) ~ (n + d) - 1⌝ 0⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  [I]  :  Interval
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  m  :  \{n...\}
4.  [f]  :  \{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  [f']  :  \{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  \mforall{}k:\{n..m  +  1\msupminus{}\}.  d(f[k;x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[k;x]  on  I
7.  d  :  \mBbbZ{}
8.  [\%2]  :  0  <  d
9.  d  \mleq{}  (m  -  n)
10.  d(\mSigma{}\{f[k;x]  |  n\mleq{}k\mleq{}n  +  (d  -  1)\})/dx  =  \mlambda{}x.\mSigma{}\{f'[k;x]  |  n\mleq{}k\mleq{}n  +  (d  -  1)\}  on  I
11.  d(f[n  +  d;x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[n  +  d;x]  on  I
12.  d(\mSigma{}\{f[k;x]  |  n\mleq{}k\mleq{}n  +  (d  -  1)\}  +  f[n  +  d;x])/dx  =  \mlambda{}x.\mSigma{}\{f'[k;x]  |  n\mleq{}k\mleq{}n  +  (d  -  1)\}
+  f'[n  +  d;x]  on  I
\mvdash{}  d(\mSigma{}\{f[k;x]  |  n\mleq{}k\mleq{}n  +  d\})/dx  =  \mlambda{}x.\mSigma{}\{f'[k;x]  |  n\mleq{}k\mleq{}n  +  d\}  on  I


By

---

Latex:
(DerivativeFunctionality  (-1)
  THEN  Auto
  THEN  (RW  (AddrC  [2]  (LemmaC  `rsum\_unroll`))  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  AutoSplit
  THEN  Subst  \mkleeneopen{}n  +  (d  -  1)  \msim{}  (n  +  d)  -  1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index