---

Step * 1 1 of Lemma fun-converges-iff-cauchy


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
5. k : ℕ+
6. N : ℕ+
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g x| ≤ (r1/r(2 * k)))
8. x : ℝ
9. x ∈ i-approx(I;a)
10. ∀n:{N...}. (|f[n;x] - g x| ≤ (r1/r(2 * k)))
11. n : {N...}
12. |f[n;x] - g x| ≤ (r1/r(2 * k))
13. x ∈ I
14. m : {N...}
⊢ |f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k))
BY
{ (UseTriangleInequality [⌜g x⌝]⋅ THEN Auto)⋅ }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
5. k : ℕ+
6. N : ℕ+
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g x| ≤ (r1/r(2 * k)))
8. x : ℝ
9. x ∈ i-approx(I;a)
10. ∀n:{N...}. (|f[n;x] - g x| ≤ (r1/r(2 * k)))
11. n : {N...}
12. |f[n;x] - g x| ≤ (r1/r(2 * k))
13. x ∈ I
14. m : {N...}
⊢ ((r1/r(2 * k)) + |(g x) - f[m;x]|) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  a  :  \{a:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;a))\} 
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  g  x|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k)))
8.  x  :  \mBbbR{}
9.  x  \mmember{}  i-approx(I;a)
10.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|f[n;x]  -  g  x|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k)))
11.  n  :  \{N...\}
12.  |f[n;x]  -  g  x|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))
13.  x  \mmember{}  I
14.  m  :  \{N...\}
\mvdash{}  |f[n;x]  -  f[m;x]|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(UseTriangleInequality  [\mkleeneopen{}g  x\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index