---

Step * 1 3 1 1 1 of Lemma fun-ratio-test


1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g n x continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (n + 1) x| ≤ (c * |g n x|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (N + n) x| ≤ (c^n * |g N x|))
⊢ λn.Σ{c^i * |g N x| | 0≤i≤n}↓ for x ∈ I)
BY
{ (InstLemma `fun-converges-rmul` [⌜I⌝;⌜λ2n x.Σ{c^i | 0≤i≤n}⌝;⌜λ2x.|g N x|⌝]⋅ THENA Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g n x continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (n + 1) x| ≤ (c * |g n x|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (N + n) x| ≤ (c^n * |g N x|))
⊢ λn.Σ{c^i | 0≤i≤n}↓ for x ∈ I)

2
.....antecedent..... 
1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g n x continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (n + 1) x| ≤ (c * |g n x|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (N + n) x| ≤ (c^n * |g N x|))
⊢ |g N x| continuous for x ∈ I

3
1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g n x continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (n + 1) x| ≤ (c * |g n x|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (N + n) x| ≤ (c^n * |g N x|))
11. λn.Σ{c^i | 0≤i≤n} * |g N x|↓ for x ∈ I)
⊢ λn.Σ{c^i * |g N x| | 0≤i≤n}↓ for x ∈ I)

---

Latex:

---

Latex:

1.  c  :  \mBbbR{}
2.  r0  \mleq{}  c
3.  c  <  r1
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  I  :  Interval
6.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  g  n  x  continuous  for  x  \mmember{}  I
8.  icompact(I)
9.  \mforall{}n:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|g  (n  +  1)  x|  \mleq{}  (c  *  |g  n  x|))
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|g  (N  +  n)  x|  \mleq{}  (c\^{}n  *  |g  N  x|))
\mvdash{}  \mlambda{}n.\mSigma{}\{c\^{}i  *  |g  N  x|  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}\mdownarrow{}  for  x  \mmember{}  I)


By

---

Latex:
(InstLemma  `fun-converges-rmul`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n  x.\mSigma{}\{c\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.|g  N  x|\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index