---

Step * 1 3 1 2 1 1 of Lemma fun-ratio-test


1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g n x continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (n + 1) x| ≤ (c * |g n x|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (N + n) x| ≤ (c^n * |g N x|))
11. Σn.c^n * |g N x|↓ for x ∈ I
12. ∀I:Interval. ∀f:ℕ ⟶ I ⟶ℝ.  (Σn.f[n + N;x]↓ for x ∈ I ⇒ Σn.f[n;x]↓ for x ∈ I)
⊢ Σn.if N ≤z n + N then c^(n + N) - N * |g N x| else |g (n + N) x| fi ↓ for x ∈ I
BY
{ (Thin (-1) THEN ParallelLast) }

1
1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g n x continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (n + 1) x| ≤ (c * |g n x|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g (N + n) x| ≤ (c^n * |g N x|))
11. λn.Σ{c^i * |g N x| | 0≤i≤n}↓ for x ∈ I)
⊢ λn.Σ{if N ≤z i + N then c^(i + N) - N * |g N x| else |g (i + N) x| fi  | 0≤i≤n}↓ for x ∈ I)

---

Latex:

---

Latex:

1.  c  :  \mBbbR{}
2.  r0  \mleq{}  c
3.  c  <  r1
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  I  :  Interval
6.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  g  n  x  continuous  for  x  \mmember{}  I
8.  icompact(I)
9.  \mforall{}n:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|g  (n  +  1)  x|  \mleq{}  (c  *  |g  n  x|))
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|g  (N  +  n)  x|  \mleq{}  (c\^{}n  *  |g  N  x|))
11.  \mSigma{}n.c\^{}n  *  |g  N  x|\mdownarrow{}  for  x  \mmember{}  I
12.  \mforall{}I:Interval.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.    (\mSigma{}n.f[n  +  N;x]\mdownarrow{}  for  x  \mmember{}  I  {}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.f[n;x]\mdownarrow{}  for  x  \mmember{}  I)
\mvdash{}  \mSigma{}n.if  N  \mleq{}z  n  +  N  then  c\^{}(n  +  N)  -  N  *  |g  N  x|  else  |g  (n  +  N)  x|  fi  \mdownarrow{}  for  x  \mmember{}  I


By

---

Latex:
(Thin  (-1)  THEN  ParallelLast)

---

Home Index