---

Step * 2 1 1 1 1 of Lemma homeo-image-boundary


1. X : Type
2. Y : Type
3. dX : metric(X)
4. dY : metric(Y)
5. f : FUN(X ⟶ Y)
6. h1 : FUN(Y ⟶ X)
7. ∀x:X. h1 (f x) ≡ x
8. ∀y:Y. f (h1 y) ≡ y
9. PtwiseCONT(f:X ⟶ Y)
10. A : Type
11. metric-subspace(X;dX;A)
12. A ⊆r X
13. respects-equality(X;A)
14. ∀a:A. ∀x:X.  (x ≡ a ⇒ (x ∈ A))
15. <f, h1> ∈ homeomorphic(X;dX;Y;dY)
16. a : A
17. M : ℕ+
18. ∀x:X. ((mdist(dX;x;a) ≤ (r1/r(M))) ⇒ (x ∈ A))
19. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
20. ∀y:Y. ((mdist(dY;f a;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(dX;h1 (f a);h1 y) ≤ (r1/r(M))))
21. k : ℕ+
22. (r1/r(k)) < delta
23. x : Y
24. mdist(dY;x;f a) ≤ (r1/r(k))
⊢ x ∈ homeo-image(A;Y;dY;<f, h1>)
BY
{ (RenameVar `y' (-2) THEN (InstHyp [⌜y⌝] (-5)⋅ THENA (Auto THEN RWO "mdist-symm" 0 THEN Auto))) }

1
1. X : Type
2. Y : Type
3. dX : metric(X)
4. dY : metric(Y)
5. f : FUN(X ⟶ Y)
6. h1 : FUN(Y ⟶ X)
7. ∀x:X. h1 (f x) ≡ x
8. ∀y:Y. f (h1 y) ≡ y
9. PtwiseCONT(f:X ⟶ Y)
10. A : Type
11. metric-subspace(X;dX;A)
12. A ⊆r X
13. respects-equality(X;A)
14. ∀a:A. ∀x:X.  (x ≡ a ⇒ (x ∈ A))
15. <f, h1> ∈ homeomorphic(X;dX;Y;dY)
16. a : A
17. M : ℕ+
18. ∀x:X. ((mdist(dX;x;a) ≤ (r1/r(M))) ⇒ (x ∈ A))
19. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
20. ∀y:Y. ((mdist(dY;f a;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(dX;h1 (f a);h1 y) ≤ (r1/r(M))))
21. k : ℕ+
22. (r1/r(k)) < delta
23. y : Y
24. mdist(dY;y;f a) ≤ (r1/r(k))
25. mdist(dX;h1 (f a);h1 y) ≤ (r1/r(M))
⊢ y ∈ homeo-image(A;Y;dY;<f, h1>)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  Y  :  Type
3.  dX  :  metric(X)
4.  dY  :  metric(Y)
5.  f  :  FUN(X  {}\mrightarrow{}  Y)
6.  h1  :  FUN(Y  {}\mrightarrow{}  X)
7.  \mforall{}x:X.  h1  (f  x)  \mequiv{}  x
8.  \mforall{}y:Y.  f  (h1  y)  \mequiv{}  y
9.  PtwiseCONT(f:X  {}\mrightarrow{}  Y)
10.  A  :  Type
11.  metric-subspace(X;dX;A)
12.  A  \msubseteq{}r  X
13.  respects-equality(X;A)
14.  \mforall{}a:A.  \mforall{}x:X.    (x  \mequiv{}  a  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  A))
15.  <f,  h1>  \mmember{}  homeomorphic(X;dX;Y;dY)
16.  a  :  A
17.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  \mforall{}x:X.  ((mdist(dX;x;a)  \mleq{}  (r1/r(M)))  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  A))
19.  delta  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
20.  \mforall{}y:Y.  ((mdist(dY;f  a;y)  \mleq{}  delta)  {}\mRightarrow{}  (mdist(dX;h1  (f  a);h1  y)  \mleq{}  (r1/r(M))))
21.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
22.  (r1/r(k))  <  delta
23.  x  :  Y
24.  mdist(dY;x;f  a)  \mleq{}  (r1/r(k))
\mvdash{}  x  \mmember{}  homeo-image(A;Y;dY;<f,  h1>)


By

---

Latex:
(RenameVar  `y'  (-2)  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  RWO  "mdist-symm"  0  THEN  Auto)))

---

Home Index