---

Step * 2 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma infinitesmal-zero


1. x : ℕ+ ⟶ ℤ
2. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (x n)) - n * (x m)| ≤ ((2 * 1) * (n + m)))
3. ∀[k:ℕ+]. (|x| ≤ (r1/r(k)))
4. ∀k,n:ℕ+.  ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * ((2 * m) - k * |x m|)))
5. n : ℕ+
6. N : ℕ+
7. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * ((2 * m) - n * |x m|)))
8. m : {N...}
9. n ≤ m
10. ((-2) * m) ≤ (n * ((2 * m) - n * |x m|))
11. |m * (x n)| ≤ (|n * (x m)| + |(m * (x n)) - n * (x m)|)
⊢ (|n * (x m)| + ((2 * 1) * (n + m))) ≤ (|m| * 8)
BY
{ ((Mul ⌜n⌝ 0⋅ THENA Auto) THEN (RWO "absval_mul" 0 THENA Auto)) }

1
1. x : ℕ+ ⟶ ℤ
2. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (x n)) - n * (x m)| ≤ ((2 * 1) * (n + m)))
3. ∀[k:ℕ+]. (|x| ≤ (r1/r(k)))
4. ∀k,n:ℕ+.  ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * ((2 * m) - k * |x m|)))
5. n : ℕ+
6. N : ℕ+
7. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * ((2 * m) - n * |x m|)))
8. m : {N...}
9. n ≤ m
10. ((-2) * m) ≤ (n * ((2 * m) - n * |x m|))
11. |m * (x n)| ≤ (|n * (x m)| + |(m * (x n)) - n * (x m)|)
⊢ (n * ((|n| * |x m|) + ((2 * 1) * (n + m)))) ≤ (n * |m| * 8)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
2.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(m  *  (x  n))  -  n  *  (x  m)|  \mleq{}  ((2  *  1)  *  (n  +  m)))
3.  \mforall{}[k:\mBbbN{}\msupplus{}].  (|x|  \mleq{}  (r1/r(k)))
4.  \mforall{}k,n:\mBbbN{}\msupplus{}.    \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (n  *  ((2  *  m)  -  k  *  |x  m|)))
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (n  *  ((2  *  m)  -  n  *  |x  m|)))
8.  m  :  \{N...\}
9.  n  \mleq{}  m
10.  ((-2)  *  m)  \mleq{}  (n  *  ((2  *  m)  -  n  *  |x  m|))
11.  |m  *  (x  n)|  \mleq{}  (|n  *  (x  m)|  +  |(m  *  (x  n))  -  n  *  (x  m)|)
\mvdash{}  (|n  *  (x  m)|  +  ((2  *  1)  *  (n  +  m)))  \mleq{}  (|m|  *  8)


By

---

Latex:
((Mul  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  (RWO  "absval\_mul"  0  THENA  Auto))

---

Home Index