---

Step * of Lemma least-upper-bound

∀[A:Set(ℝ)]
  ((∃x:ℝ. (x ∈ A))
  ⇒ bounded-above(A)
  ⇒ (∃b:ℝ. sup(A) = b ⇐⇒ ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((a ∈ A) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))))
BY
{ (Auto THEN ExRepD) }

1
1. [A] : Set(ℝ)
2. x1 : ℝ
3. x1 ∈ A
4. bounded-above(A)
5. b : ℝ
6. sup(A) = b
7. x : ℝ
8. y : ℝ
9. x < y
⊢ (∃a:ℝ. ((a ∈ A) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y

2
1. [A] : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. x ∈ A
4. bounded-above(A)
5. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((a ∈ A) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
⊢ ∃b:ℝ. sup(A) = b

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[A:Set(\mBbbR{})]
    ((\mexists{}x:\mBbbR{}.  (x  \mmember{}  A))
    {}\mRightarrow{}  bounded-above(A)
    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:\mBbbR{}.  sup(A)  =  b  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((\mexists{}a:\mBbbR{}.  ((a  \mmember{}  A)  \mwedge{}  (x  <  a)))  \mvee{}  A  \mleq{}  y))))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  ExRepD)

---

Home Index