---

Step * 1 1 1 1 of Lemma m-TB-sup-and-inf


1. [X] : Type
2. dX : metric(X)
3. m-TB(X;dX)
4. f : X ⟶ ℝ
5. UC(f:X ⟶ ℝ)
6. λr.∃x:X. (r = (f x)) ∈ Set(ℝ)
7. e : ℝ
8. r0 < e
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < e
11. n : ℕ+
12. xs : ℕn ⟶ f[X]
13. ∀x:f[X]. ∃i:ℕn. (|(fst(x)) - fst((xs i))| ≤ (r1/r(k)))
14. i : ℕn
15. y : ℝ
16. v1 : {x:X| y ≡ f x} 
17. (xs i) = <y, v1> ∈ f[X]
⊢ ∃x:X. (y = (f x))
BY
{ (RepUR ``meq rmetric`` -2 THEN D 0 With ⌜v1⌝  THEN Auto THEN D -2 THEN Unhide THEN EAuto 1) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  dX  :  metric(X)
3.  m-TB(X;dX)
4.  f  :  X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  UC(f:X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{})
6.  \mlambda{}r.\mexists{}x:X.  (r  =  (f  x))  \mmember{}  Set(\mBbbR{})
7.  e  :  \mBbbR{}
8.  r0  <  e
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  (r1/r(k))  <  e
11.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  xs  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  f[X]
13.  \mforall{}x:f[X].  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (|(fst(x))  -  fst((xs  i))|  \mleq{}  (r1/r(k)))
14.  i  :  \mBbbN{}n
15.  y  :  \mBbbR{}
16.  v1  :  \{x:X|  y  \mequiv{}  f  x\} 
17.  (xs  i)  =  <y,  v1>
\mvdash{}  \mexists{}x:X.  (y  =  (f  x))


By

---

Latex:
(RepUR  ``meq  rmetric``  -2  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}    THEN  Auto  THEN  D  -2  THEN  Unhide  THEN  EAuto  1)

---

Home Index