---

Step * 1 2 2 2 1 1 1 1 1 of Lemma nearby-partition-choice


1. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
2. P : ℝ List@i
3. Q : ℝ List@i
4. x : i:ℕ||P|| - 1 ⟶ {x:ℝ| (P[i] ≤ x) ∧ (x ≤ P[i + 1])} @i
5. ||P|| = ||Q|| ∈ ℤ
6. ∀i:ℕ||P||. (|P[i] - Q[i]| ≤ e)
7. frs-non-dec(P)
8. frs-non-dec(Q)
9. i : ℕ||P|| - 1@i
10. |P[i] - Q[i]| ≤ e
11. |P[i + 1] - Q[i + 1]| ≤ e
12. P[i] ≤ P[i + 1]
13. Q[i] ≤ Q[i + 1]
14. Q[i] < (x i)
15. (Q[i + 1] - e) < (x i)
⊢ ∃y:{x:ℝ| (Q[i] ≤ x) ∧ (x ≤ Q[i + 1])} . (|(x i) - y| ≤ e)
BY
{ D 0 With ⌜Q[i + 1]⌝  }

1
.....wf..... 
1. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
2. P : ℝ List@i
3. Q : ℝ List@i
4. x : i:ℕ||P|| - 1 ⟶ {x:ℝ| (P[i] ≤ x) ∧ (x ≤ P[i + 1])} @i
5. ||P|| = ||Q|| ∈ ℤ
6. ∀i:ℕ||P||. (|P[i] - Q[i]| ≤ e)
7. frs-non-dec(P)
8. frs-non-dec(Q)
9. i : ℕ||P|| - 1@i
10. |P[i] - Q[i]| ≤ e
11. |P[i + 1] - Q[i + 1]| ≤ e
12. P[i] ≤ P[i + 1]
13. Q[i] ≤ Q[i + 1]
14. Q[i] < (x i)
15. (Q[i + 1] - e) < (x i)
⊢ Q[i + 1] ∈ {x:ℝ| (Q[i] ≤ x) ∧ (x ≤ Q[i + 1])} 

2
1. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
2. P : ℝ List@i
3. Q : ℝ List@i
4. x : i:ℕ||P|| - 1 ⟶ {x:ℝ| (P[i] ≤ x) ∧ (x ≤ P[i + 1])} @i
5. ||P|| = ||Q|| ∈ ℤ
6. ∀i:ℕ||P||. (|P[i] - Q[i]| ≤ e)
7. frs-non-dec(P)
8. frs-non-dec(Q)
9. i : ℕ||P|| - 1@i
10. |P[i] - Q[i]| ≤ e
11. |P[i + 1] - Q[i + 1]| ≤ e
12. P[i] ≤ P[i + 1]
13. Q[i] ≤ Q[i + 1]
14. Q[i] < (x i)
15. (Q[i + 1] - e) < (x i)
⊢ |(x i) - Q[i + 1]| ≤ e

3
.....wf..... 
1. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
2. P : ℝ List@i
3. Q : ℝ List@i
4. x : i:ℕ||P|| - 1 ⟶ {x:ℝ| (P[i] ≤ x) ∧ (x ≤ P[i + 1])} @i
5. ||P|| = ||Q|| ∈ ℤ
6. ∀i:ℕ||P||. (|P[i] - Q[i]| ≤ e)
7. frs-non-dec(P)
8. frs-non-dec(Q)
9. i : ℕ||P|| - 1@i
10. |P[i] - Q[i]| ≤ e
11. |P[i + 1] - Q[i + 1]| ≤ e
12. P[i] ≤ P[i + 1]
13. Q[i] ≤ Q[i + 1]
14. Q[i] < (x i)
15. (Q[i + 1] - e) < (x i)
16. y : {x:ℝ| (Q[i] ≤ x) ∧ (x ≤ Q[i + 1])} 
⊢ |(x i) - y| ≤ e ∈ ℙ

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  @i
2.  P  :  \mBbbR{}  List@i
3.  Q  :  \mBbbR{}  List@i
4.  x  :  i:\mBbbN{}||P||  -  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  (P[i]  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  P[i  +  1])\}  @i
5.  ||P||  =  ||Q||
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}||P||.  (|P[i]  -  Q[i]|  \mleq{}  e)
7.  frs-non-dec(P)
8.  frs-non-dec(Q)
9.  i  :  \mBbbN{}||P||  -  1@i
10.  |P[i]  -  Q[i]|  \mleq{}  e
11.  |P[i  +  1]  -  Q[i  +  1]|  \mleq{}  e
12.  P[i]  \mleq{}  P[i  +  1]
13.  Q[i]  \mleq{}  Q[i  +  1]
14.  Q[i]  <  (x  i)
15.  (Q[i  +  1]  -  e)  <  (x  i)
\mvdash{}  \mexists{}y:\{x:\mBbbR{}|  (Q[i]  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  Q[i  +  1])\}  .  (|(x  i)  -  y|  \mleq{}  e)


By

---

Latex:
D  0  With  \mkleeneopen{}Q[i  +  1]\mkleeneclose{} 

---

Home Index