---

Step * 1 3 of Lemma ratio-test


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. ∀n:ℕ. (|x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|))
⊢ Σn.x[n]↓
BY
{ (InstLemma `comparison-test-ext` [⌜λ2i.if N ≤z i then c^i - N * |x[N]| else |x[i]| fi ⌝;⌜x⌝]⋅ THEN Auto)⋅ }

1
.....antecedent..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. ∀n:ℕ. (|x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|))
⊢ Σn.if N ≤z n then c^n - N * |x[N]| else |x[n]| fi ↓

2
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. ∀n:ℕ. (|x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|))
6. n : ℕ
⊢ |x[n]| ≤ if N ≤z n then c^n - N * |x[N]| else |x[n]| fi 

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  N  :  \mBbbN{}
3.  c  :  \{c:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)\} 
4.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|x[n  +  1]|  \mleq{}  (c  *  |x[n]|))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[N  +  n]|  \mleq{}  (c\^{}n  *  |x[N]|))
\mvdash{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}


By

---

Latex:
(InstLemma  `comparison-test-ext`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}i.if  N  \mleq{}z  i  then  c\^{}i  -  N  *  |x[N]|  else  |x[i]|  fi  \mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  )\mcdot{}

---

Home Index