---

Step * 1 3 1 of Lemma ratio-test

.....antecedent..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. ∀n:ℕ. (|x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|))
⊢ Σn.if N ≤z n then c^n - N * |x[N]| else |x[n]| fi ↓
BY
{ ((InstLemma `series-converges-tail2-ext` [⌜N⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (BHyp -1 THENA Auto)
   THEN Assert ⌜Σn.c^n * |x[N]|↓⌝⋅
   THEN Try ((NthHypEq (-1) THEN EqCD THEN Auto THEN AutoSplit THEN Auto'))) }

1
.....assertion..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. ∀n:ℕ. (|x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|))
6. ∀x:ℕ ⟶ ℝ. (Σn.x[n + N]↓ ⇒ Σn.x[n]↓)
⊢ Σn.c^n * |x[N]|↓

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  N  :  \mBbbN{}
3.  c  :  \{c:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)\} 
4.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|x[n  +  1]|  \mleq{}  (c  *  |x[n]|))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[N  +  n]|  \mleq{}  (c\^{}n  *  |x[N]|))
\mvdash{}  \mSigma{}n.if  N  \mleq{}z  n  then  c\^{}n  -  N  *  |x[N]|  else  |x[n]|  fi  \mdownarrow{}


By

---

Latex:
((InstLemma  `series-converges-tail2-ext`  [\mkleeneopen{}N\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (BHyp  -1  THENA  Auto)
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mSigma{}n.c\^{}n  *  |x[N]|\mdownarrow{}\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Try  ((NthHypEq  (-1)  THEN  EqCD  THEN  Auto  THEN  AutoSplit  THEN  Auto')))

---

Home Index