---

Step * 1 2 1 1 2 1 1 of Lemma rational-approx-implies-req


1. k : ℕ+
2. x : ℝ
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n:ℕ+. (|x - (r(a n)/r(2 * n))| ≤ (r(k)/r(n)))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|(r(a n)/r(2 * n)) - (r(a m)/r(2 * m))| ≤ ((r(k)/r(n)) + (r(k)/r(m))))
6. k-regular-seq(a)
7. k-regular-seq(a)
8. B : ℕ
9. ∀n:ℕ+. (|(accelerate(k;a) n) - a n| ≤ B)
10. ∀n:ℕ+. (|(r(accelerate(k;a) n)/r(2 * n)) - (r(a n)/r(2 * n))| ≤ (r(B)/r(2 * n)))
11. m : ℕ+
12. |accelerate(k;a) - (r(accelerate(k;a) m)/r(2 * m))| ≤ (r1/r(m))
⊢ |accelerate(k;a) - x| ≤ (r(B + k + 1)/r(m))
BY
{ (((Assert |(r(accelerate(k;a) m)/r(2 * m)) - (r(a m)/r(2 * m))| ≤ (r(B)/r(2 * m)) BY
           Auto)
    THEN (Assert |x - (r(a m)/r(2 * m))| ≤ (r(k)/r(m)) BY
                Auto)
    )
   THEN UseTriangleInequality [⌜(r(accelerate(k;a) m)/r(2 * m))⌝;⌜(r(a m)/r(2 * m))⌝]⋅
   ) }

1
1. k : ℕ+
2. x : ℝ
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. ∀n:ℕ+. (|x - (r(a n)/r(2 * n))| ≤ (r(k)/r(n)))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|(r(a n)/r(2 * n)) - (r(a m)/r(2 * m))| ≤ ((r(k)/r(n)) + (r(k)/r(m))))
6. k-regular-seq(a)
7. k-regular-seq(a)
8. B : ℕ
9. ∀n:ℕ+. (|(accelerate(k;a) n) - a n| ≤ B)
10. ∀n:ℕ+. (|(r(accelerate(k;a) n)/r(2 * n)) - (r(a n)/r(2 * n))| ≤ (r(B)/r(2 * n)))
11. m : ℕ+
12. |accelerate(k;a) - (r(accelerate(k;a) m)/r(2 * m))| ≤ (r1/r(m))
13. |(r(accelerate(k;a) m)/r(2 * m)) - (r(a m)/r(2 * m))| ≤ (r(B)/r(2 * m))
14. |(r(a m)/r(2 * m)) - x| ≤ (r(k)/r(m))
⊢ ((r1/r(m)) + (r(B)/r(2 * m)) + (r(k)/r(m))) ≤ (r(B + k + 1)/r(m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|x  -  (r(a  n)/r(2  *  n))|  \mleq{}  (r(k)/r(n)))
5.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(r(a  n)/r(2  *  n))  -  (r(a  m)/r(2  *  m))|  \mleq{}  ((r(k)/r(n))  +  (r(k)/r(m))))
6.  k-regular-seq(a)
7.  k-regular-seq(a)
8.  B  :  \mBbbN{}
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|(accelerate(k;a)  n)  -  a  n|  \mleq{}  B)
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|(r(accelerate(k;a)  n)/r(2  *  n))  -  (r(a  n)/r(2  *  n))|  \mleq{}  (r(B)/r(2  *  n)))
11.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  |accelerate(k;a)  -  (r(accelerate(k;a)  m)/r(2  *  m))|  \mleq{}  (r1/r(m))
\mvdash{}  |accelerate(k;a)  -  x|  \mleq{}  (r(B  +  k  +  1)/r(m))


By

---

Latex:
(((Assert  |(r(accelerate(k;a)  m)/r(2  *  m))  -  (r(a  m)/r(2  *  m))|  \mleq{}  (r(B)/r(2  *  m))  BY
                  Auto)
    THEN  (Assert  |x  -  (r(a  m)/r(2  *  m))|  \mleq{}  (r(k)/r(m))  BY
                            Auto)
    )
  THEN  UseTriangleInequality  [\mkleeneopen{}(r(accelerate(k;a)  m)/r(2  *  m))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(r(a  m)/r(2  *  m))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  )

---

Home Index