---

Step * 2 1 1 of Lemma regularize-2-regular


1. f : ℤ ⟶ ℤ@i
2. n : ℕ+@i
3. m : ℕ+@i
4. ¬↑regular-upto(m;f)
5. ↑regular-upto(n;f)
6. v : ℕ@i
7. ¬↑regular-upto(v;f)@i
8. ∀[i:ℕ]. ¬¬↑regular-upto(i;f) supposing i < v@i
9. ¬(v = 1 ∈ ℤ)
10. ¬(v = 0 ∈ ℤ)
11. k : ℕ+@i
12. (v - 1) = k ∈ ℕ+@i
⊢ |(m * k * (f n)) - n * ((m * (f k)) - m * (f k) rem k)| ≤ (k * 4 * (n + m))
BY
{ (Subst' (m * k * (f n)) - n * ((m * (f k)) - m * (f k) rem k) ~ (m * ((k * (f n)) - n * (f k)))
   + (n * (m * (f k) rem k)) 0
   THEN Auto
   THEN (RWO "int-triangle-inequality" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "absval_mul" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "rem_bounds_absval_le" 0 THENA Auto)) }

1
1. f : ℤ ⟶ ℤ@i
2. n : ℕ+@i
3. m : ℕ+@i
4. ¬↑regular-upto(m;f)
5. ↑regular-upto(n;f)
6. v : ℕ@i
7. ¬↑regular-upto(v;f)@i
8. ∀[i:ℕ]. ¬¬↑regular-upto(i;f) supposing i < v@i
9. ¬(v = 1 ∈ ℤ)
10. ¬(v = 0 ∈ ℤ)
11. k : ℕ+@i
12. (v - 1) = k ∈ ℕ+@i
⊢ ((|m| * |(k * (f n)) - n * (f k)|) + (|n| * |k|)) ≤ (k * 4 * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
3.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
4.  \mneg{}\muparrow{}regular-upto(m;f)
5.  \muparrow{}regular-upto(n;f)
6.  v  :  \mBbbN{}@i
7.  \mneg{}\muparrow{}regular-upto(v;f)@i
8.  \mforall{}[i:\mBbbN{}].  \mneg{}\mneg{}\muparrow{}regular-upto(i;f)  supposing  i  <  v@i
9.  \mneg{}(v  =  1)
10.  \mneg{}(v  =  0)
11.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
12.  (v  -  1)  =  k@i
\mvdash{}  |(m  *  k  *  (f  n))  -  n  *  ((m  *  (f  k))  -  m  *  (f  k)  rem  k)|  \mleq{}  (k  *  4  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
(Subst'  (m  *  k  *  (f  n))  -  n  *  ((m  *  (f  k))  -  m  *  (f  k)  rem  k)  \msim{}  (m  *  ((k  *  (f  n))  -  n  *  (f  k)))
  +  (n  *  (m  *  (f  k)  rem  k))  0
  THEN  Auto
  THEN  (RWO  "int-triangle-inequality"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "absval\_mul"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "rem\_bounds\_absval\_le"  0  THENA  Auto))

---

Home Index