---

Step * 1 1 of Lemma rpolynomial-locally-non-zero-1


1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. (Σi≤n. a_i * r0^i) < r0
4. r0 < (Σi≤n. a_i * r1^i)
5. u : {u:ℝ| u ∈ [r0, r1]} 
6. v : {v:ℝ| v ∈ [r0, r1]} 
7. u < v
⊢ ∃k:ℕ
   ∃F:ℕk + 1 ⟶ [r0, r1] ⟶ℝ
    (finite-deriv-seq([r0, r1];k;i,x.F[i;x])
    ∧ (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (F[0;x] = ((Σi≤n. a_i * x^i) - r0)))
    ∧ (∃z:{z:ℝ| (u ≤ z) ∧ (z ≤ v)} . (r0 < Σ{|F[i;z]| | 0≤i≤k})))
BY
{ (With ⌜n⌝ (D 0)⋅
   THENA (Auto
          THEN DVar `u'
          THEN DVar `v'
          THEN Unhide
          THEN Auto
          THEN All (RepUR  ``i-member``)
          THEN MemTypeCD
          THEN Auto)
   ) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. (Σi≤n. a_i * r0^i) < r0
4. r0 < (Σi≤n. a_i * r1^i)
5. u : {u:ℝ| u ∈ [r0, r1]} 
6. v : {v:ℝ| v ∈ [r0, r1]} 
7. u < v
⊢ ∃F:ℕn + 1 ⟶ [r0, r1] ⟶ℝ
   (finite-deriv-seq([r0, r1];n;i,x.F[i;x])
   ∧ (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (F[0;x] = ((Σi≤n. a_i * x^i) - r0)))
   ∧ (∃z:{z:ℝ| (u ≤ z) ∧ (z ≤ v)} . (r0 < Σ{|F[i;z]| | 0≤i≤n})))

2
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. (Σi≤n. a_i * r0^i) < r0
4. r0 < (Σi≤n. a_i * r1^i)
5. u : ℝ
6. r0 ≤ u
7. u ≤ r1
8. v : ℝ
9. r0 ≤ v
10. v ≤ r1
11. u < v
12. k : ℕ
13. F : ℕk + 1 ⟶ [r0, r1] ⟶ℝ
14. x : finite-deriv-seq([r0, r1];k;i,x.F[i;x])
15. x1 : ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (F[0;x] = ((Σi≤n. a_i * x^i) - r0))
16. z : {z:ℝ| (u ≤ z) ∧ (z ≤ v)} 
17. i : ℕk + 1
⊢ r0 ≤ z

3
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. (Σi≤n. a_i * r0^i) < r0
4. r0 < (Σi≤n. a_i * r1^i)
5. u : ℝ
6. r0 ≤ u
7. u ≤ r1
8. v : ℝ
9. r0 ≤ v
10. v ≤ r1
11. u < v
12. k : ℕ
13. F : ℕk + 1 ⟶ [r0, r1] ⟶ℝ
14. x : finite-deriv-seq([r0, r1];k;i,x.F[i;x])
15. x1 : ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (F[0;x] = ((Σi≤n. a_i * x^i) - r0))
16. z : {z:ℝ| (u ≤ z) ∧ (z ≤ v)} 
17. i : ℕk + 1
18. r0 ≤ z
⊢ z ≤ r1

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  r0\^{}i)  <  r0
4.  r0  <  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  r1\^{}i)
5.  u  :  \{u:\mBbbR{}|  u  \mmember{}  [r0,  r1]\} 
6.  v  :  \{v:\mBbbR{}|  v  \mmember{}  [r0,  r1]\} 
7.  u  <  v
\mvdash{}  \mexists{}k:\mBbbN{}
      \mexists{}F:\mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
        (finite-deriv-seq([r0,  r1];k;i,x.F[i;x])
        \mwedge{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (F[0;x]  =  ((\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  x\^{}i)  -  r0)))
        \mwedge{}  (\mexists{}z:\{z:\mBbbR{}|  (u  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  v)\}  .  (r0  <  \mSigma{}\{|F[i;z]|  |  0\mleq{}i\mleq{}k\})))


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THENA  (Auto
                THEN  DVar  `u'
                THEN  DVar  `v'
                THEN  Unhide
                THEN  Auto
                THEN  All  (RepUR    ``i-member``)
                THEN  MemTypeCD
                THEN  Auto)
  )

---

Home Index