---

Step * 1 1 1 of Lemma rpolynomial-locally-non-zero-1


1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. (Σi≤n. a_i * r0^i) < r0
4. r0 < (Σi≤n. a_i * r1^i)
5. u : {u:ℝ| u ∈ [r0, r1]} 
6. v : {v:ℝ| v ∈ [r0, r1]} 
7. u < v
⊢ ∃F:ℕn + 1 ⟶ [r0, r1] ⟶ℝ
   (finite-deriv-seq([r0, r1];n;i,x.F[i;x])
   ∧ (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (F[0;x] = ((Σi≤n. a_i * x^i) - r0)))
   ∧ (∃z:{z:ℝ| (u ≤ z) ∧ (z ≤ v)} . (r0 < Σ{|F[i;z]| | 0≤i≤n})))
BY
{ (With ⌜λi,x. rpoly-nth-deriv(i;n;a;x)⌝ (D 0)⋅ THEN RepUR ``so_apply`` 0⋅ THEN Auto) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. (Σi≤n. a_i * r0^i) < r0
4. r0 < (Σi≤n. a_i * r1^i)
5. u : {u:ℝ| u ∈ [r0, r1]} 
6. v : {v:ℝ| v ∈ [r0, r1]} 
7. u < v
8. finite-deriv-seq([r0, r1];n;i,x.rpoly-nth-deriv(i;n;a;x))
9. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
⊢ rpoly-nth-deriv(0;n;a;x) = ((Σi≤n. a_i * x^i) - r0)

2
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. (Σi≤n. a_i * r0^i) < r0
4. r0 < (Σi≤n. a_i * r1^i)
5. u : {u:ℝ| u ∈ [r0, r1]} 
6. v : {v:ℝ| v ∈ [r0, r1]} 
7. u < v
8. finite-deriv-seq([r0, r1];n;i,x.rpoly-nth-deriv(i;n;a;x))
9. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (rpoly-nth-deriv(0;n;a;x) = ((Σi≤n. a_i * x^i) - r0))
⊢ ∃z:{z:ℝ| (u ≤ z) ∧ (z ≤ v)} . (r0 < Σ{|rpoly-nth-deriv(i;n;a;z)| | 0≤i≤n})

3
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. (Σi≤n. a_i * r0^i) < r0
4. r0 < (Σi≤n. a_i * r1^i)
5. u : {u:ℝ| u ∈ [r0, r1]} 
6. v : {v:ℝ| v ∈ [r0, r1]} 
7. u < v
8. F : ℕn + 1 ⟶ [r0, r1] ⟶ℝ
9. x : finite-deriv-seq([r0, r1];n;i,x.F i x)
10. x1 : ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . ((F 0 x) = ((Σi≤n. a_i * x^i) - r0))
11. z : {z:ℝ| (u ≤ z) ∧ (z ≤ v)} 
12. i : ℕn + 1
⊢ z ∈ {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  r0\^{}i)  <  r0
4.  r0  <  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  r1\^{}i)
5.  u  :  \{u:\mBbbR{}|  u  \mmember{}  [r0,  r1]\} 
6.  v  :  \{v:\mBbbR{}|  v  \mmember{}  [r0,  r1]\} 
7.  u  <  v
\mvdash{}  \mexists{}F:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
      (finite-deriv-seq([r0,  r1];n;i,x.F[i;x])
      \mwedge{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (F[0;x]  =  ((\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  x\^{}i)  -  r0)))
      \mwedge{}  (\mexists{}z:\{z:\mBbbR{}|  (u  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  v)\}  .  (r0  <  \mSigma{}\{|F[i;z]|  |  0\mleq{}i\mleq{}n\})))


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}\mlambda{}i,x.  rpoly-nth-deriv(i;n;a;x)\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  RepUR  ``so\_apply``  0\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index