---

Step * 1 1 1 1 1 1 2 2 of Lemma rroot-exists-part1


1. i : {2...}
2. x : {x:ℝ| (↑isEven(i)) ⇒ (r0 ≤ x)} 
3. k : ℕ+
4. p : ℤ
5. p = (x (2 * k)) ∈ ℤ
6. |x - (r(p)/r(4 * k))| ≤ (r1/r(2 * k))
7. ((r(p)/r(4 * k)) < (r(-1)/r(2 * k))) ∨ ((r1/r(2 * k)) < (r(p)/r(4 * k)))
8. (r0 ≤ (r(p)/r(4 * k))) ∨ (↑isOdd(i))
9. a : ℤ
10. b : ℕ+
11. [%11] : (0 ≤ p ⇐⇒ 0 ≤ a) ∧ (|(r(a))/b^i - (r(p)/r(4 * k))| < (r1/r(2 * k)))
12. |(r(a))/b^i - x| ≤ (r1/r(k))
13. |(r(a))/b^i - x| ≤ (r1/r(k))
14. (r0 < (r(a))/b) ⇒ (r0 < x)
15. (r(a))/b < r0
⊢ x < r0
BY
{ ((Assert a < 0 BY
          (TACTIC:(RWO "int-rdiv-req" (-1) THENA Auto)
           THEN (nRMul ⌜r(b)⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
           THEN (RWO "rless-int" (-1) THENA Auto)
           THEN RW IntNormC (-1)
           THEN Auto))⋅
   THEN (Assert p < 0 BY
               ((Assert ¬(0 ≤ p) BY (Unhide THEN Auto)) THEN Auto)⋅)
   THEN ((Mul ⌜2 * k⌝ (-1)⋅ THENA Auto) THEN D 7 THEN DupHyp 7 THEN RWO "rless-int-fractions" (-1) THEN Auto')⋅)⋅ }

1
1. i : {2...}
2. x : {x:ℝ| (↑isEven(i)) ⇒ (r0 ≤ x)} 
3. k : ℕ+
4. p : ℤ
5. p = (x (2 * k)) ∈ ℤ
6. |x - (r(p)/r(4 * k))| ≤ (r1/r(2 * k))
7. (r(p)/r(4 * k)) < (r(-1)/r(2 * k))
8. (r0 ≤ (r(p)/r(4 * k))) ∨ (↑isOdd(i))
9. a : ℤ
10. b : ℕ+
11. [%11] : (0 ≤ p ⇐⇒ 0 ≤ a) ∧ (|(r(a))/b^i - (r(p)/r(4 * k))| < (r1/r(2 * k)))
12. |(r(a))/b^i - x| ≤ (r1/r(k))
13. |(r(a))/b^i - x| ≤ (r1/r(k))
14. (r0 < (r(a))/b) ⇒ (r0 < x)
15. (r(a))/b < r0
16. a < 0
17. p < 0
18. (2 * k) * p < (2 * k) * 0
19. p * 2 * k < (-1) * 4 * k
⊢ x < r0

---

Latex:

---

Latex:

1.  i  :  \{2...\}
2.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (\muparrow{}isEven(i))  {}\mRightarrow{}  (r0  \mleq{}  x)\} 
3.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  p  :  \mBbbZ{}
5.  p  =  (x  (2  *  k))
6.  |x  -  (r(p)/r(4  *  k))|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))
7.  ((r(p)/r(4  *  k))  <  (r(-1)/r(2  *  k)))  \mvee{}  ((r1/r(2  *  k))  <  (r(p)/r(4  *  k)))
8.  (r0  \mleq{}  (r(p)/r(4  *  k)))  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(i))
9.  a  :  \mBbbZ{}
10.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  [\%11]  :  (0  \mleq{}  p  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  0  \mleq{}  a)  \mwedge{}  (|(r(a))/b\^{}i  -  (r(p)/r(4  *  k))|  <  (r1/r(2  *  k)))
12.  |(r(a))/b\^{}i  -  x|  \mleq{}  (r1/r(k))
13.  |(r(a))/b\^{}i  -  x|  \mleq{}  (r1/r(k))
14.  (r0  <  (r(a))/b)  {}\mRightarrow{}  (r0  <  x)
15.  (r(a))/b  <  r0
\mvdash{}  x  <  r0


By

---

Latex:
((Assert  a  <  0  BY
                (TACTIC:(RWO  "int-rdiv-req"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}r(b)\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  (RWO  "rless-int"  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  RW  IntNormC  (-1)
                  THEN  Auto))\mcdot{}
  THEN  (Assert  p  <  0  BY
                          ((Assert  \mneg{}(0  \mleq{}  p)  BY  (Unhide  THEN  Auto))  THEN  Auto)\mcdot{})
  THEN  ((Mul  \mkleeneopen{}2  *  k\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
              THEN  D  7
              THEN  DupHyp  7
              THEN  RWO  "rless-int-fractions"  (-1)
              THEN  Auto')\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index