---

Step * 1 1 1 of Lemma series-converges-limit-zero

.....assertion..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. a : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(k)))))])
4. k : ℕ+
5. N : ℕ
6. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(2 * k))))
7. n : ℕ
8. (N + 1) ≤ n
⊢ |x[n]| ≤ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| + |a - Σ{x[i] | 0≤i≤n - 1}|)
BY
{ (RWO "r-triangle-inequality<" 0 THEN Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. a : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(k)))))])
4. k : ℕ+
5. N : ℕ
6. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(2 * k))))
7. n : ℕ
8. (N + 1) ≤ n
⊢ |x[n]| ≤ |(Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a) + (a - Σ{x[i] | 0≤i≤n - 1})|

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  N  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  a|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))))
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  (N  +  1)  \mleq{}  n
\mvdash{}  |x[n]|  \mleq{}  (|\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  a|  +  |a  -  \mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}|)


By

---

Latex:
(RWO  "r-triangle-inequality<"  0  THEN  Auto)

---

Home Index