---

Step * 1 1 of Lemma sine-poly-approx

.....assertion..... 
1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(2))} 
2. k : ℕ
3. N : ℕ+
4. |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k} - (r(sine-approx(x;k;N))/r(2 * N))| ≤ (r1/r(N))
5. |sine(|x|) - Σ{-1^i * (|x|^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}| ≤ (|x|^(2 * k) + 3/r(((2 * k) + 3)!))
⊢ |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}|
= |sine(|x|) - Σ{-1^i * (|x|^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}|
BY
{ (StableCases ⌜x < r0⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(2))} 
2. k : ℕ
3. N : ℕ+
4. |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k} - (r(sine-approx(x;k;N))/r(2 * N))| ≤ (r1/r(N))
5. |sine(|x|) - Σ{-1^i * (|x|^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}| ≤ (|x|^(2 * k) + 3/r(((2 * k) + 3)!))
6. x < r0
⊢ |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}|
= |sine(|x|) - Σ{-1^i * (|x|^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}|

2
1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(2))} 
2. k : ℕ
3. N : ℕ+
4. |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k} - (r(sine-approx(x;k;N))/r(2 * N))| ≤ (r1/r(N))
5. |sine(|x|) - Σ{-1^i * (|x|^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}| ≤ (|x|^(2 * k) + 3/r(((2 * k) + 3)!))
6. ¬(x < r0)
⊢ |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}|
= |sine(|x|) - Σ{-1^i * (|x|^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}|

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  (r1/r(2))\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  |\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  -  (r(sine-approx(x;k;N))/r(2  *  N))|  \mleq{}  (r1/r(N))
5.  |sine(|x|)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (|x|\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}|  \mleq{}  (|x|\^{}(2  *  k)  +  3/r(((2  *  k)
+  3)!))
\mvdash{}  |sine(x)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}|
=  |sine(|x|)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (|x|\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}|


By

---

Latex:
(StableCases  \mkleeneopen{}x  <  r0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index