Step
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of Lemma
ext-equal-presheaves-equiv-rel
1. C : SmallCategory
2. Sym(Presheaf(C);F,G.(∀x:cat-ob(C). ob(F) x ≡ ob(G) x)
∧ (∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x. ((arrow(F) x y f) = (arrow(G) x y f) ∈ ((ob(F) x) ⟶ (ob(F) y)))))
3. a : Presheaf(C)
4. b : Presheaf(C)
5. c : Presheaf(C)
6. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(b) x
7. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x. ((arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y)))
8. ∀x:cat-ob(C). ob(b) x ≡ ob(c) x
9. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x. ((arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(b) x) ⟶ (ob(b) y)))
10. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x
11. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x
12. x : cat-ob(C)
13. y : cat-ob(C)
14. f : cat-arrow(C) y x
15. (arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y))
16. (arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(b) x) ⟶ (ob(b) y))
17. x1 : ob(a) x
18. (arrow(a) x y f x1) = (arrow(b) x y f x1) ∈ (ob(a) y)
19. (arrow(b) x y f x1) = (arrow(c) x y f x1) ∈ (ob(b) y)
⊢ (arrow(a) x y f x1) = (arrow(c) x y f x1) ∈ (ob(a) y)
BY
{ (((Assert ob(a) x ≡ ob(b) x BY BackThruSomeHyp) THEN D -1)
THEN (Assert ob(a) x ≡ ob(c) x BY
BackThruSomeHyp)
THEN D -1) }
1
1. C : SmallCategory
2. Sym(Presheaf(C);F,G.(∀x:cat-ob(C). ob(F) x ≡ ob(G) x)
∧ (∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x. ((arrow(F) x y f) = (arrow(G) x y f) ∈ ((ob(F) x) ⟶ (ob(F) y)))))
3. a : Presheaf(C)
4. b : Presheaf(C)
5. c : Presheaf(C)
6. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(b) x
7. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x. ((arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y)))
8. ∀x:cat-ob(C). ob(b) x ≡ ob(c) x
9. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x. ((arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(b) x) ⟶ (ob(b) y)))
10. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x
11. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x
12. x : cat-ob(C)
13. y : cat-ob(C)
14. f : cat-arrow(C) y x
15. (arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y))
16. (arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(b) x) ⟶ (ob(b) y))
17. x1 : ob(a) x
18. (arrow(a) x y f x1) = (arrow(b) x y f x1) ∈ (ob(a) y)
19. (arrow(b) x y f x1) = (arrow(c) x y f x1) ∈ (ob(b) y)
20. (ob(a) x) ⊆r (ob(b) x)
21. (ob(b) x) ⊆r (ob(a) x)
22. (ob(a) x) ⊆r (ob(c) x)
23. (ob(c) x) ⊆r (ob(a) x)
⊢ (arrow(a) x y f x1) = (arrow(c) x y f x1) ∈ (ob(a) y)
Latex:
Latex:
1. C : SmallCategory
2. Sym(Presheaf(C);F,G.(\mforall{}x:cat-ob(C). ob(F) x \mequiv{} ob(G) x)
\mwedge{} (\mforall{}x,y:cat-ob(C). \mforall{}f:cat-arrow(C) y x. ((arrow(F) x y f) = (arrow(G) x y f))))
3. a : Presheaf(C)
4. b : Presheaf(C)
5. c : Presheaf(C)
6. \mforall{}x:cat-ob(C). ob(a) x \mequiv{} ob(b) x
7. \mforall{}x,y:cat-ob(C). \mforall{}f:cat-arrow(C) y x. ((arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f))
8. \mforall{}x:cat-ob(C). ob(b) x \mequiv{} ob(c) x
9. \mforall{}x,y:cat-ob(C). \mforall{}f:cat-arrow(C) y x. ((arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f))
10. \mforall{}x:cat-ob(C). ob(a) x \mequiv{} ob(c) x
11. \mforall{}x:cat-ob(C). ob(a) x \mequiv{} ob(c) x
12. x : cat-ob(C)
13. y : cat-ob(C)
14. f : cat-arrow(C) y x
15. (arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f)
16. (arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f)
17. x1 : ob(a) x
18. (arrow(a) x y f x1) = (arrow(b) x y f x1)
19. (arrow(b) x y f x1) = (arrow(c) x y f x1)
\mvdash{} (arrow(a) x y f x1) = (arrow(c) x y f x1)
By
Latex:
(((Assert ob(a) x \mequiv{} ob(b) x BY BackThruSomeHyp) THEN D -1)
THEN (Assert ob(a) x \mequiv{} ob(c) x BY
BackThruSomeHyp)
THEN D -1)
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