---

Step * of Lemma presheaf-subset-and

∀[C:SmallCategory]. ∀[F:Presheaf(C)]. ∀[P,Q:I:cat-ob(C) ⟶ (ob(F) I) ⟶ ℙ].
  ext-equal-presheaves(C;F|I,rho.P[I;rho]|I,rho.Q[I;rho];F|I,rho.P[I;rho] ∧ Q[I;rho]) 
  supposing stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho]) ∧ stable-element-predicate(C;F;I,rho.Q[I;rho])
BY
{ (Auto THEN D 0 THEN Intros THEN RepUR ``presheaf-subset mk-presheaf`` 0) }

1
1. C : SmallCategory
2. F : Presheaf(C)
3. P : I:cat-ob(C) ⟶ (ob(F) I) ⟶ ℙ
4. Q : I:cat-ob(C) ⟶ (ob(F) I) ⟶ ℙ
5. stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
6. stable-element-predicate(C;F;I,rho.Q[I;rho])
7. x : cat-ob(C)
⊢ {rho:{rho:ob(F) x| P[x;rho]} | Q[x;rho]}  ≡ {rho:ob(F) x| P[x;rho] ∧ Q[x;rho]} 

2
1. C : SmallCategory
2. F : Presheaf(C)
3. P : I:cat-ob(C) ⟶ (ob(F) I) ⟶ ℙ
4. Q : I:cat-ob(C) ⟶ (ob(F) I) ⟶ ℙ
5. stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
6. stable-element-predicate(C;F;I,rho.Q[I;rho])
7. x : cat-ob(C)
8. y : cat-ob(C)
9. f : cat-arrow(C) y x
⊢ (λrho.(arrow(F) x y f rho))
= (λrho.(arrow(F) x y f rho))
∈ ({rho:{rho:ob(F) x| P[x;rho]} | Q[x;rho]}  ⟶ {rho:{rho:ob(F) y| P[y;rho]} | Q[y;rho]} )

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[C:SmallCategory].  \mforall{}[F:Presheaf(C)].  \mforall{}[P,Q:I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  (ob(F)  I)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    ext-equal-presheaves(C;F|I,rho.P[I;rho]|I,rho.Q[I;rho];F|I,rho.P[I;rho]  \mwedge{}  Q[I;rho]) 
    supposing  stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
    \mwedge{}  stable-element-predicate(C;F;I,rho.Q[I;rho])


By

---

Latex:
(Auto  THEN  D  0  THEN  Intros  THEN  RepUR  ``presheaf-subset  mk-presheaf``  0)

---

Home Index