---

Step * 2 1 1 1 2 1 1 of Lemma pcw-path-coPath_wf


1. A : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. p : ℕ ⟶ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
5. StepAgree(p 0;⋅;w)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. pcw-path-coPath(n - 1;p) ∈ copath(a.B[a];w)
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ
11. a : A
12. w2 : B[a] ⟶ coW(A;a.B[a])
13. x : B[a]
14. (p (n - 1)) = <⋅, <a, w2>, inl x> ∈ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
15. StepAgree(p n;⋅;w2 x)
16. copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = <a, w2> ∈ coW(A;a.B[a])
17. x ∈ coW-dom(a.B[a];copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)))
18. copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x) ∈ copath(a.B[a];w)
19. copath-length(copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x)) = n ∈ ℤ
20. copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (fst(snd((p (n - 1))))) ∈ coW(A;a.B[a])
⊢ coW-item(copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p));x) = (fst(snd((p n)))) ∈ coW(A;a.B[a])
BY
{ (MoveToConcl (-6)
   THEN (GenConclTerm ⌜p n⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (D -2)
   THEN RepUR ``pcw-step-agree`` 0
   THEN Reduce 0
   THEN Auto) }

1
1. A : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. p : ℕ ⟶ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
5. StepAgree(p 0;⋅;w)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. pcw-path-coPath(n - 1;p) ∈ copath(a.B[a];w)
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ
11. a : A
12. w2 : B[a] ⟶ coW(A;a.B[a])
13. x : B[a]
14. (p (n - 1)) = <⋅, <a, w2>, inl x> ∈ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
15. copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = <a, w2> ∈ coW(A;a.B[a])
16. x ∈ coW-dom(a.B[a];copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)))
17. copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x) ∈ copath(a.B[a];w)
18. copath-length(copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x)) = n ∈ ℤ
19. copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (fst(snd((p (n - 1))))) ∈ coW(A;a.B[a])
20. p1 : Unit
21. w3 : pco-W p1
22. v2 : B[fst(w3)]?
23. (p n) = <p1, w3, v2> ∈ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
24. p1 = ⋅ ∈ Unit
25. w3 = (w2 x) ∈ (pco-W ⋅)
⊢ coW-item(copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p));x) = w3 ∈ coW(A;a.B[a])

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  \mBbbU{}'
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  w  :  coW(A;a.B[a])
4.  p  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.\mcdot{})
5.  StepAgree(p  0;\mcdot{};w)
6.  n  :  \mBbbZ{}
7.  0  <  n
8.  pcw-path-coPath(n  -  1;p)  \mmember{}  copath(a.B[a];w)
9.  \mneg{}(n  =  0)
10.  copath-length(pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (n  -  1)
11.  a  :  A
12.  w2  :  B[a]  {}\mrightarrow{}  coW(A;a.B[a])
13.  x  :  B[a]
14.  (p  (n  -  1))  =  <\mcdot{},  <a,  w2>,  inl  x>
15.  StepAgree(p  n;\mcdot{};w2  x)
16.  copath-at(w;pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  <a,  w2>
17.  x  \mmember{}  coW-dom(a.B[a];copath-at(w;pcw-path-coPath(n  -  1;p)))
18.  copath-extend(pcw-path-coPath(n  -  1;p);x)  \mmember{}  copath(a.B[a];w)
19.  copath-length(copath-extend(pcw-path-coPath(n  -  1;p);x))  =  n
20.  copath-at(w;pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (fst(snd((p  (n  -  1)))))
\mvdash{}  coW-item(copath-at(w;pcw-path-coPath(n  -  1;p));x)  =  (fst(snd((p  n))))


By

---

Latex:
(MoveToConcl  (-6)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}p  n\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
  THEN  RepUR  ``pcw-step-agree``  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)

---

Home Index