---

Step * of Lemma b-almost-full-intersection-lemma

∀R,T:ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ.
  (b-almost-full(n,m.R[n;m])
  ⇒ b-almost-full(n,m.T[n;m])
  ⇒ (∀s:StrictInc. ⇃(∃m:ℕ. ∃n,p:{m + 1...}. (R[s m;s n] ∧ T[s m;s p]))))
BY
{ (Auto
   THEN (InstLemma `intuitionistic-pigeonhole` 
          [⌜λ2m.∃n:{m + 1...}. R[s m;s n]⌝;⌜λ2m.∃n:{m + 1...}. T[s m;s n]⌝]⋅
         THENA Auto
         )
   ) }

1
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ@i'
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ@i'
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])@i
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])@i
5. s : StrictInc@i
6. s@0 : StrictInc@i
⊢ ⇃(∃n:ℕ. ∃n@0:{(s@0 n) + 1...}. R[s (s@0 n);s n@0])

2
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ@i'
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ@i'
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])@i
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])@i
5. s : StrictInc@i
6. s@0 : StrictInc@i
⊢ ⇃(∃n:ℕ. ∃n@0:{(s@0 n) + 1...}. T[s (s@0 n);s n@0])

3
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ@i'
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ@i'
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])@i
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])@i
5. s : StrictInc@i
6. ∀s@0:StrictInc. ⇃(∃n:ℕ. ((∃n@0:{(s@0 n) + 1...}. R[s (s@0 n);s n@0]) ∧ (∃n@0:{(s@0 n) + 1...}. T[s (s@0 n);s n@0])))
⊢ ⇃(∃m:ℕ. ∃n,p:{m + 1...}. (R[s m;s n] ∧ T[s m;s p]))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}R,T:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.
    (b-almost-full(n,m.R[n;m])
    {}\mRightarrow{}  b-almost-full(n,m.T[n;m])
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:StrictInc.  \00D9(\mexists{}m:\mBbbN{}.  \mexists{}n,p:\{m  +  1...\}.  (R[s  m;s  n]  \mwedge{}  T[s  m;s  p]))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (InstLemma  `intuitionistic-pigeonhole` 
                [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}m.\mexists{}n:\{m  +  1...\}.  R[s  m;s  n]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}m.\mexists{}n:\{m  +  1...\}.  T[s  m;s  n]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  )

---

Home Index