---

Step * 1 1 1 1 2 1 2 1 of Lemma decidable-bar-rec-equal-spector


1. j : ℤ
2. 0 < j
3. ∀n:ℕ. ∀s,ind,base,dec:Base.
     (λdecidable-bar-rec,n,s. case dec n s
                              of inl(r) =>
                              base n s r
                              | inr(x) =>
                              ind n s (λt.(decidable-bar-rec (n + 1) s.t@n))^j - 1 
      ⊥ 
      n 
      s ≤ fix((λspector-bar-rec,n,s. if if dec n s then 0 else n + 1 fi  ≤z n
                                    then case dec n s of inl(r) => base n s r | inr(x) => ⊥
                                    else ind n s (λt.(spector-bar-rec (n + 1) s.t@n))
                                    fi )) 
          n 
          s)
4. n : ℕ@i
5. ¬((n + 1) ≤ n)
6. s : Base@i
7. ind : Base@i
8. base : Base@i
9. dec : Base@i
10. (case dec n s
 of inl(r) =>
 base n s r
 | inr(x) =>
 ind n s 
 (λt.(λdecidable-bar-rec,n,s. case dec n s
                              of inl(r) =>
                              base n s r
                              | inr(x) =>
                              ind n s (λt.(decidable-bar-rec (n + 1) s.t@n))^j - 1 
      ⊥ 
      (n + 1) 
      s.t@n)))↓
11. dec n s ∈ Top + Top
12. y : Top@i
13. (dec n s) = (inr y ) ∈ (Top + Top)
14. t : Base
⊢ λdecidable-bar-rec,n,s. case dec n s
                          of inl(r) =>
                          base n s r
                          | inr(x) =>
                          ind n s (λt.(decidable-bar-rec (n + 1) s.t@n))^j - 1 
  ⊥ 
  (n + 1) 
  s.t@n ≤ fix((λspector-bar-rec,n,s. if if dec n s then 0 else n + 1 fi  ≤z n
                                    then case dec n s of inl(r) => base n s r | inr(x) => ⊥
                                    else ind n s (λt.(spector-bar-rec (n + 1) s.t@n))
                                    fi )) 
          (n + 1) 
          s.t@n
BY
{ (BHyp 3 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  j  :  \mBbbZ{}
2.  0  <  j
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s,ind,base,dec:Base.
          (\mlambda{}decidable-bar-rec,n,s.  case  dec  n  s
                                                            of  inl(r)  =>
                                                            base  n  s  r
                                                            |  inr(x)  =>
                                                            ind  n  s  (\mlambda{}t.(decidable-bar-rec  (n  +  1)  s.t@n))\^{}j  -  1 
            \mbot{} 
            n 
            s  \mleq{}  fix((\mlambda{}spector-bar-rec,n,s.  if  if  dec  n  s  then  0  else  n  +  1  fi    \mleq{}z  n
                                                                        then  case  dec  n  s  of  inl(r)  =>  base  n  s  r  |  inr(x)  =>  \mbot{}
                                                                        else  ind  n  s  (\mlambda{}t.(spector-bar-rec  (n  +  1)  s.t@n))
                                                                        fi  )) 
                    n 
                    s)
4.  n  :  \mBbbN{}@i
5.  \mneg{}((n  +  1)  \mleq{}  n)
6.  s  :  Base@i
7.  ind  :  Base@i
8.  base  :  Base@i
9.  dec  :  Base@i
10.  (case  dec  n  s
  of  inl(r)  =>
  base  n  s  r
  |  inr(x)  =>
  ind  n  s 
  (\mlambda{}t.(\mlambda{}decidable-bar-rec,n,s.  case  dec  n  s
                                                            of  inl(r)  =>
                                                            base  n  s  r
                                                            |  inr(x)  =>
                                                            ind  n  s  (\mlambda{}t.(decidable-bar-rec  (n  +  1)  s.t@n))\^{}j  -  1 
            \mbot{} 
            (n  +  1) 
            s.t@n)))\mdownarrow{}
11.  dec  n  s  \mmember{}  Top  +  Top
12.  y  :  Top@i
13.  (dec  n  s)  =  (inr  y  )
14.  t  :  Base
\mvdash{}  \mlambda{}decidable-bar-rec,n,s.  case  dec  n  s
                                                    of  inl(r)  =>
                                                    base  n  s  r
                                                    |  inr(x)  =>
                                                    ind  n  s  (\mlambda{}t.(decidable-bar-rec  (n  +  1)  s.t@n))\^{}j  -  1 
    \mbot{} 
    (n  +  1) 
    s.t@n  \mleq{}  fix((\mlambda{}spector-bar-rec,n,s.  if  if  dec  n  s  then  0  else  n  +  1  fi    \mleq{}z  n
                                                                        then  case  dec  n  s  of  inl(r)  =>  base  n  s  r  |  inr(x)  =>  \mbot{}
                                                                        else  ind  n  s  (\mlambda{}t.(spector-bar-rec  (n  +  1)  s.t@n))
                                                                        fi  )) 
                    (n  +  1) 
                    s.t@n


By

---

Latex:
(BHyp  3  THEN  Auto)

---

Home Index