---

Step * 1 1 4 of Lemma decidable-bar-rec_wf


1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. bar : ∀s:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. B[n;s])
4. dec : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ∨ (¬B[n;s]))
5. base : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s])
6. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
7. n1 : ℕ
8. s1 : ℕn1 ⟶ ℕ
9. w : ∀m:ℕ
         (decidable-bar-rec(dec;base;ind;n1 + 1;λx.if x=n1 then m else (s1 x))
          ∈ Q[n1 + 1;λx.if x=n1 then m else (s1 x)])
⊢ decidable-bar-rec(dec;base;ind;n1;s1) ∈ Q[n1;s1]
BY
{ (RecUnfold `decidable-bar-rec` 0⋅
   THEN GenConclAtAddr [2;1]
   THEN DVar `v'
   THEN Reduce 0
   THEN Try (Complete ((D (-2) THEN Auto)))
   THEN Try (CpltAuto)) }

1
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. bar : ∀s:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. B[n;s])
4. dec : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ∨ (¬B[n;s]))
5. base : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s])
6. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
7. n1 : ℕ
8. s1 : ℕn1 ⟶ ℕ
9. w : ∀m:ℕ
         (decidable-bar-rec(dec;base;ind;n1 + 1;λx.if x=n1 then m else (s1 x))
          ∈ Q[n1 + 1;λx.if x=n1 then m else (s1 x)])
10. y : ¬B[n1;s1]
11. (dec n1 s1) = (inr y ) ∈ (B[n1;s1] ∨ (¬B[n1;s1]))
⊢ ind n1 s1 (λt.decidable-bar-rec(dec;base;ind;n1 + 1;s1.t@n1)) ∈ Q[n1;s1]

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  bar  :  \mforall{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  B[n;s])
4.  dec  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  \mvee{}  (\mneg{}B[n;s]))
5.  base  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])
6.  ind  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  Q[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])
7.  n1  :  \mBbbN{}
8.  s1  :  \mBbbN{}n1  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
9.  w  :  \mforall{}m:\mBbbN{}
                  (decidable-bar-rec(dec;base;ind;n1  +  1;\mlambda{}x.if  x=n1  then  m  else  (s1  x))
                    \mmember{}  Q[n1  +  1;\mlambda{}x.if  x=n1  then  m  else  (s1  x)])
\mvdash{}  decidable-bar-rec(dec;base;ind;n1;s1)  \mmember{}  Q[n1;s1]


By

---

Latex:
(RecUnfold  `decidable-bar-rec`  0\mcdot{}
  THEN  GenConclAtAddr  [2;1]
  THEN  DVar  `v'
  THEN  Reduce  0
  THEN  Try  (Complete  ((D  (-2)  THEN  Auto)))
  THEN  Try  (CpltAuto))

---

Home Index