---

Step * 1 1 4 1 of Lemma decidable-bar-rec_wf


1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. bar : ∀s:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. B[n;s])
4. dec : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ∨ (¬B[n;s]))
5. base : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s])
6. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
7. n1 : ℕ
8. s1 : ℕn1 ⟶ ℕ
9. w : ∀m:ℕ
         (decidable-bar-rec(dec;base;ind;n1 + 1;λx.if x=n1 then m else (s1 x))
          ∈ Q[n1 + 1;λx.if x=n1 then m else (s1 x)])
10. y : ¬B[n1;s1]
11. (dec n1 s1) = (inr y ) ∈ (B[n1;s1] ∨ (¬B[n1;s1]))
⊢ ind n1 s1 (λt.decidable-bar-rec(dec;base;ind;n1 + 1;s1.t@n1)) ∈ Q[n1;s1]
BY
{ (Auto THEN InstHyp [⌜t⌝] (-4)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  bar  :  \mforall{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  B[n;s])
4.  dec  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  \mvee{}  (\mneg{}B[n;s]))
5.  base  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])
6.  ind  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  Q[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])
7.  n1  :  \mBbbN{}
8.  s1  :  \mBbbN{}n1  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
9.  w  :  \mforall{}m:\mBbbN{}
                  (decidable-bar-rec(dec;base;ind;n1  +  1;\mlambda{}x.if  x=n1  then  m  else  (s1  x))
                    \mmember{}  Q[n1  +  1;\mlambda{}x.if  x=n1  then  m  else  (s1  x)])
10.  y  :  \mneg{}B[n1;s1]
11.  (dec  n1  s1)  =  (inr  y  )
\mvdash{}  ind  n1  s1  (\mlambda{}t.decidable-bar-rec(dec;base;ind;n1  +  1;s1.t@n1))  \mmember{}  Q[n1;s1]


By

---

Latex:
(Auto  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}t\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index