---

Step * 1 1 of Lemma extended-fan-theorem


1. C : ℕ ⟶ (ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. F : ∀a:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (C n a)
3. ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
      ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (fst((F f)))) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ)))))
⊢ ⇃(∃m:ℕ. ∀a:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ 𝔹. ((a = b ∈ (ℕm ⟶ 𝔹)) ⇒ (C n b)))
BY
{ ((Assert ⌜(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
              ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (fst((F f)))) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ)))))
            ⇒ (∃m:ℕ. ∀a:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ 𝔹. ((a = b ∈ (ℕm ⟶ 𝔹)) ⇒ (C n b)))⌝⋅
   THENM (RenameVar `f' (-1) THEN RenameVar `M' (-2) THEN UseWitness ⌜f M⌝⋅ THEN newQuotientElim1 (-2)⋅ THEN Auto)
   )
   THEN Thin (-1)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. C : ℕ ⟶ (ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. F : ∀a:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (C n a)
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (fst((F f)))) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
⊢ ∃m:ℕ. ∀a:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ 𝔹. ((a = b ∈ (ℕm ⟶ 𝔹)) ⇒ (C n b))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  F  :  \mforall{}a:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (C  n  a)
3.  \00D9(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
            \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (fst((F  f)))))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n)))))
\mvdash{}  \00D9(\mexists{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}a:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  ((a  =  b)  {}\mRightarrow{}  (C  n  b)))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
                        \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (fst((F  f)))))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n)))))
                    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}a:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  ((a  =  b)  {}\mRightarrow{}  (C  n  b)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  (RenameVar  `f'  (-1)
                THEN  RenameVar  `M'  (-2)
                THEN  UseWitness  \mkleeneopen{}f  M\mkleeneclose{}\mcdot{}
                THEN  newQuotientElim1  (-2)\mcdot{}
                THEN  Auto)
  )
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index