---

Step * 2 2 2 2 1 1 1 1 of Lemma gamma-neighbourhood-prop1


1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n0 : finite-nat-seq()
3. ∀a:ℕ ⟶ ℕ. ∃x:ℕ. (↑isl(gamma-neighbourhood(beta;n0) a^(x)))
4. a : finite-nat-seq()
5. ¬↑init-seg-nat-seq(a;n0)
6. b : finite-nat-seq()
7. ¬↑init-seg-nat-seq(a**b;n0)
8. y : ¬(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
9. (TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta)
= (inr y )
∈ Dec(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
10. x1 : ℕ
11. x3 : ↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x1^(1);a**b)
12. x5 : ¬((beta x1) = 0 ∈ ℤ)
13. x6 : ∀y:ℕx1. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
14. (TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a**b n0 beta)
= (inl <x1, x3, x5, x6>)
∈ Dec(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a**b)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
15. x : ℕ
16. ↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)
17. ¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)
18. ¬(∃y:ℕx. (¬((beta y) = 0 ∈ ℤ)))
⊢ ∃y:ℕx. (¬((beta y) = 0 ∈ ℤ))
BY
{ (Assert ⌜∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)))⌝⋅
THENM Auto
) }

1
.....assertion..... 
1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n0 : finite-nat-seq()
3. ∀a:ℕ ⟶ ℕ. ∃x:ℕ. (↑isl(gamma-neighbourhood(beta;n0) a^(x)))
4. a : finite-nat-seq()
5. ¬↑init-seg-nat-seq(a;n0)
6. b : finite-nat-seq()
7. ¬↑init-seg-nat-seq(a**b;n0)
8. y : ¬(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
9. (TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta)
= (inr y )
∈ Dec(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
10. x1 : ℕ
11. x3 : ↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x1^(1);a**b)
12. x5 : ¬((beta x1) = 0 ∈ ℤ)
13. x6 : ∀y:ℕx1. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
14. (TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a**b n0 beta)
= (inl <x1, x3, x5, x6>)
∈ Dec(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a**b)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
15. x : ℕ
16. ↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)
17. ¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)
18. ¬(∃y:ℕx. (¬((beta y) = 0 ∈ ℤ)))
⊢ ∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  beta  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  n0  :  finite-nat-seq()
3.  \mforall{}a:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mexists{}x:\mBbbN{}.  (\muparrow{}isl(gamma-neighbourhood(beta;n0)  a\^{}(x)))
4.  a  :  finite-nat-seq()
5.  \mneg{}\muparrow{}init-seg-nat-seq(a;n0)
6.  b  :  finite-nat-seq()
7.  \mneg{}\muparrow{}init-seg-nat-seq(a**b;n0)
8.  y  :  \mneg{}(\mexists{}x:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}init-seg-nat-seq(n0**\mlambda{}i.x\^{}(1);a))  \mwedge{}  (\mneg{}((beta  x)  =  0))  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbN{}x.  ((beta  y)  =  0))))
9.  (TERMOF\{extend-seq1-all-dec:o,  1:l\}  a  n0  beta)  =  (inr  y  )
10.  x1  :  \mBbbN{}
11.  x3  :  \muparrow{}init-seg-nat-seq(n0**\mlambda{}i.x1\^{}(1);a**b)
12.  x5  :  \mneg{}((beta  x1)  =  0)
13.  x6  :  \mforall{}y:\mBbbN{}x1.  ((beta  y)  =  0)
14.  (TERMOF\{extend-seq1-all-dec:o,  1:l\}  a**b  n0  beta)  =  (inl  <x1,  x3,  x5,  x6>)
15.  x  :  \mBbbN{}
16.  \muparrow{}init-seg-nat-seq(n0**\mlambda{}i.x\^{}(1);a)
17.  \mneg{}((beta  x)  =  0)
18.  \mneg{}(\mexists{}y:\mBbbN{}x.  (\mneg{}((beta  y)  =  0)))
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbN{}x.  (\mneg{}((beta  y)  =  0))


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}x:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}init-seg-nat-seq(n0**\mlambda{}i.x\^{}(1);a))  \mwedge{}  (\mneg{}((beta  x)  =  0))  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbN{}x.  ((beta  y)  =  0)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
THENM  Auto
)

---

Home Index