Step * 1 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma general-fan-theorem-troelstra2


1. X : n:ℕ âŸś (ℕn âŸś đ”š) âŸś â„™@i'
2. F : âˆ€f:ℕ âŸś đ”š. âˆƒn:ℕ. (X n f)@i
3. M : n:ℕ âŸś (ℕn âŸś đ”š) âŸś (ℕ?)
4. G : âˆ€f:ℕ âŸś đ”š. âˆƒn:ℕ. (((M n f) = (inl (fst((F f)))) âˆˆ (ℕ?)) âˆ§ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) â‡’ (m = n âˆˆ â„•))))
5. k : â„•
6. âˆ€f:ℕ âŸś đ”š. âˆƒn:ℕk. (↑(∃x<n + 1.isl(M x f) âˆ§b if (outl(M x f)) < (n + 1)  then tt  else ff)_b)
7. f : â„• âŸś đ”š@i
8. n : â„•k
9. x : â„•n + 1
10. â†‘isl(M x f)
11. â†‘if (outl(M x f)) < (n + 1)  then tt  else ff
12. (M x f) = (inl (fst((F f)))) âˆˆ (ℕ?)
13. âˆ€m:ℕ. ((↑isl(M m f)) â‡’ (m = x âˆˆ â„•))
⊢ âˆƒn:ℕk. (X n f)
BY
{ (MoveToConcl (-2) THEN (GenConclTerm âŒœF f⌝⋅ THENA Auto) THEN (ExRepD THENA Auto) THEN AllReduce) }

1
1. X : n:ℕ âŸś (ℕn âŸś đ”š) âŸś â„™@i'
2. F : âˆ€f:ℕ âŸś đ”š. âˆƒn:ℕ. (X n f)@i
3. M : n:ℕ âŸś (ℕn âŸś đ”š) âŸś (ℕ?)
4. G : âˆ€f:ℕ âŸś đ”š. âˆƒn:ℕ. (((M n f) = (inl (fst((F f)))) âˆˆ (ℕ?)) âˆ§ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) â‡’ (m = n âˆˆ â„•))))
5. k : â„•
6. âˆ€f:ℕ âŸś đ”š. âˆƒn:ℕk. (↑(∃x<n + 1.isl(M x f) âˆ§b if (outl(M x f)) < (n + 1)  then tt  else ff)_b)
7. f : â„• âŸś đ”š@i
8. n : â„•k
9. x : â„•n + 1
10. â†‘isl(M x f)
11. â†‘if (outl(M x f)) < (n + 1)  then tt  else ff
12. âˆ€m:ℕ. ((↑isl(M m f)) â‡’ (m = x âˆˆ â„•))
13. n1 : â„•@i
14. v1 : X n1 f@i
15. (F f) = <n1, v1> âˆˆ (∃n:ℕ. (X n f))
16. (M x f) = (inl n1) âˆˆ (ℕ?)
⊢ âˆƒn:ℕk. (X n f)

Latex:

Latex:

1.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
2.  F  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (X  n  f)@i
3.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
4.  G  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (fst((F  f)))))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))))
5.  k  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}(\mexists{}x<n  +  1.isl(M  x  f)  \mwedge{}\msubb{}  if  (outl(M  x  f))  <  (n  +  1)    then  tt    else  ff)\_b)
7.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
8.  n  :  \mBbbN{}k
9.  x  :  \mBbbN{}n  +  1
10.  \muparrow{}isl(M  x  f)
11.  \muparrow{}if  (outl(M  x  f))  <  (n  +  1)    then  tt    else  ff
12.  (M  x  f)  =  (inl  (fst((F  f))))
13.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  x))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  (X  n  f)


By

Latex:
(MoveToConcl  (-2)  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}F  f\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  (ExRepD  THENA  Auto)  THEN  AllReduce)



Home Index